Класс 9 Решения RD Sharma — Глава 19 Площадь поверхности и объем прямого кругового цилиндра — Упражнение 19.2 | Набор 2

Вопрос 17. Высота прямого кругового цилиндра равна 10,5 м. Тройная сумма площадей двух его круглых граней вдвое больше площади криволинейной поверхности. Найдите объем цилиндра.

Решение:

Given that 

Height of the cylinder = 10.5 m

According to the question

3(2πr²) = 2(2πrh)

3r = 2h

r = 2/3 x h

r = 2/3 x 10.5 = 7cm

So, the radius of the well is 7cm

Now we find the volume of the cylinder 

V = πr² h

= 22/7 x 7 x 7 x 10.5

= 154 x 10.5 = 1617 cm³

Hence, the volume of the cylinder is 1617 cm³

Вопрос 18. Сколько кубометров земли нужно выкопать, чтобы пробурить колодец глубиной 21 м и диаметром 6 м? Найдите стоимость оштукатуривания внутренней поверхности также в размере 9,50 рупий за м ² .

Решение:

Given that 

Height of the well = 21 m

Diameter of the well = 6 m

So, the radius of the well = 3 m

Now, 

Volume of the cylinder = πr² h

= 22/7 x 3 x 3 x 21

= 66 x 9 = 594 cm³

Cost of plastering = 9.5 per m³

Cost of plastering inner surface = (594 x 9.50) = Rs. 5643

Вопрос 19. Ствол дерева цилиндрической формы, окружность его 176 см. Если длина дерева 3 м. Найдите объем древесины, которую можно получить из ствола.

Решение:

Given that, 

The length of the tree = 3m = 300cm

 The circumference of the trunk = 176 cm

We have to find the volume of the timber that can be obtained from the trunk

So, According to the circumference formula 

C= 2πr

176 = 2πr

r = 176/2π = 28 cm

Hence, the radius of the trunk = 28 cm

Now we find the volume of timber 

V= πr² h

= 22/7 x 28 x 28 x 300

= 44 x 8400 = 739200 cm³ or 0.7392 m³

Hence, the volume of timber is 739200 cm³ or 0.7392 m³

Вопрос 20. Колодец диаметром 14 м вырыт глубиной 8 м. Вынутая из него земля равномерно распределена по всему периметру на ширину 21 м, образуя насыпь. Найдите высоту насыпи.

Решение:

Given that 

The diameter of well = 14 m

so the radius = 7 m

Height of the well = 8 m

So,

Volume of well = πr² h

= 22/7 x 7 x 7 x 8 = 22 x 56

= 1232 m³

Now, Let’s assume that r₁ be the radius of embankment, and h₁ be the height of embankment

So, Volume of well = Volume of embankment

1232 m³ = π x r₁ x h₁

1232 = 22/7 x (28² − 7²) x h₁

h₁ = 1232 x 7 / 22(784 – 49)

h₁ = 0.533 m

Hence, the height of the embankment is 0.533 m or 53.3 cm

Вопрос 21. Разница между внутренней и внешней поверхностями цилиндрической трубы длиной 14 см составляет 88 кв.см. Если объем трубы 176 куб. см, найдите внутренний и внешний радиусы трубы.

Решение:

Let’s assume that R be the outer radius and r be the inner radius

Given that 

The height of the cylindrical tube = 14 cm 

The difference between inside and outside surfaces of a cylindrical tube = 88 cm²

2πRh – 2πrh = 88                               

2πh(R – r) = 88

2 x 22/7 x 14(R – r) = 88

(R – r) = 1cm    ——————-(i)

Now,

Volume of tube = πR² h – πr² h

176 = πh(R² – r²)

176 = 22/7 x 14(R² – r²)

(R² – r²) = 4

(R + r)(R – r) = 4

Put the value of (R – r) from eq(1)             

(R + r) (1) = 4

(R + r) = 4 cm

R = 4 – r                       ————(ii)

Here, R – r = 1                              

R = 1 + r

Now substitute value of R in eq(ii)

1 + r = 4 – r

2r = 3

r = 3/2 = 1.5 cm

Substitute value of r in eq(i)

R – 1.5 = 1

R = 1 + 1.5 = 2.5 cm

Hence, the value of inner radii is 1.5 cm and radius of outer radii is 2.5 cm.

Вопрос 22. Вода вытекает по круглой трубе с внутренним диаметром 2 см со скоростью 6 метров в секунду в цилиндрический резервуар. Вода собирается в цилиндрический сосуд, радиус основания которого 60 см. Найдите подъем уровня воды за 30 минут?

Решение:

Given that,

The internal diameter of the pipe = 2 cm,

So, the radius of the pipe = 1 cm = 1/100 m

Water flow rate through the pipe in the cylindrical tank = 6 m/sec,

Radius of the cylindrical tank = 60 cm = 60/100 m   

Time = 30 minutes.

Now we find the volume of water that flows in 1 sec 

= 22/7 × 1/100 × 1/100 × 6

Now we have to find the volume of water flows in 30 minute.

= 22/7 × 1/100 × 1/100 × 6 × 30 × 60

So, the volume of water collected in the tank after 30 minutes = Volume of water that flows through the pipe in 30 minutes

22/7 × 60/100 × 60/100 × h = 22/7 × 1/100 × 1/100 × 6 × 30 × 60

h = 3 m

Hence, the height of the tank is 3 meter.

Вопрос 23. Цилиндрический сосуд с диаметром основания 56 см содержит достаточно воды, чтобы погрузить прямоугольное твердое тело из железа с размерами 32 см × 22 см × 14 см. Найдите подъем уровня воды при полном погружении тела в воду.

Решение:

Given that,

The diameter of the cylindrical container = 56 cm

So, the radius of cylindrical container = 28 cm

The dimensions of rectangular block = 32 cm × 22 cm × 14 cm

Find: the raise in the level of water in the cylinder.

Let’s assume that the raise in the level of water be h, then

So, the volume of cylinder of height h and radius 28 cm = Volume of the rectangular block

22/7 × 28 × 28 × h = 32 × 22 × 14

h = 4 cm

Hence, the rise in the level of the water when the solid is completely submerged is 4 cm.

Вопрос 24. Цилиндрическая трубка, открытая с обоих концов, изготовлена из металла. Внутренний диаметр трубки 10,4 см, длина 25 см. Толщина металла везде 8 мм. Вычислите объем металла.

Решение:

Given that,

Internal diameter of the tube = 10.4 cm,

So, the radius of the tube = 10.4/2 = 5.2 cm

Thickness of the metal of the tube = 8 mm = 0.8 cm

Length of the pipe = 25 cm,

Find: the volume of the metal used in the pipe.

 Let us assume that the external radius be ‘R’.

So, now we find the external radius

R = 5.2 + 0.8 = 6 cm

So, the volume of metal in the pipe 

= π(R² − r²)h

= 22/7 × (62 − 5.22) × 25 

= 704 cm³

Hence, the volume of metal present in the hollow pipe is 704 cm³.

Вопрос 25. Из крана с внутренним радиусом 0,75 см вода течет со скоростью 7 м в секунду. Найдите объем в литрах воды, подаваемой по трубе за 1 час.

Решение:

Given that,

Radius of the tap = 0.75 cm

Water flow rate = 7 m/sec = 700 cm/sec

So height of the cylinder = 7 m

Time = 1 hour = 60 min = 3600 sec

Find: the volume of water that flows through the pipe for 1 hour.

Now we find the volume of water delivered in 1 second 

= 22/7 × 0.75 × 0.75 × 700

Now, we have to find the volume of water delivered in 1 hour

= 22/7 × 0.75 × 0.75 × 700 × 3600 = 4455000 cm³ = 4455 liters

Hence, the volume of water delivered by the pipe is 4455 liters.

Вопрос 26. Цилиндрический резервуар для воды диаметром 1,4 м и высотой 2,1 м питается трубой диаметром 3,5 см, по которой течет вода со скоростью 2 метра в секунду. За какое время бак наполнится?

Решение:

Given that,

Diameter of the tank = 1.4 m,

So, the radius = 1.4/2 = 0.7 m,

Height of the tank = 2.1 m,

Diameter of the pipe = 3.5 cm,

So, the radius of pipe = 3.5/2 cm = 3.5/200 m

Water flow rate = 2 m/sec,

Find: the time required to fill the tank using the pipe.

So, the volume of the tank 

V = πr²h

= 22/7 × 0.7 × 0.7 × 2.1

Now we find the volume of water that flows through the pipe in 1 second 

= 22/7 × 3.5/200 × 3.5/200 × 2

Let’s assume that the time taken to fill the tank be x seconds,  

So, the volume of water that flows through the pipe in x seconds 

= 22/7 × 3.5/200 × 3.5/200 × 2 × x

As we know that the volume of water that flows through the pipe in x seconds = Volume of the tank

22/7 × 3.5/200 × 3.5/200 × 2 × x = 22/7 × 0.7 × 0.7 × 2.1

So, x = 1680 seconds = 1680/60 minutes = 28 minutes

Hence, the tank is filled in 28 minutes.

Вопрос 27. Прямоугольный лист бумаги 30 см × 18 см можно превратить в криволинейную поверхность прямого кругового цилиндра двумя способами: либо прокатав бумагу по длине, либо прокатав ее по ширине. Найдите отношение объемов образовавшихся цилиндров.

Решение:

Given that,

The dimensions of the rectangular sheet of paper = 30 cm × 18 cm

Let’s assume that V₁ be the volume of the cylinder which is formed by rolling the sheet along its length.

So, 

2πr₁ = 30

r₁ = 15/π

h₁ = 18 cm

So, the volume is 

V₁ = π × 15/π × 15/π × 18

V₁ = 225/π × 18 cm³

Let’s assume that V₂ be the volume of the cylinder formed by rolling the sheet along its width.

So, 2πr² = 18                              

r² = 9/π

h₂ = 30 cm

So, the volume is 

V₂ = π r₂² h₂ 

= π x (9/π)2 x 30

V₂ = 81 x 30 / π

Now we find the ratio of volumes of two cylinders:

V₁ / V₂ = 225 x 18 / 81 x 30

V₁ / V₂ = 5/3 

Hence, the ratio of the volumes of the two cylinders is 5 : 3.

Вопрос 28. Сколько литров воды вытекает из трубы площадью поперечного сечения 5 см ² за одну минуту, если скорость воды в трубе 30 см/сек?

Решение:

Given that,

Area of cross-section of the pipe = 5 cm²

Speed of water = 30 cm/sec

So, the volume of water that flows through the pipe in one second 

= 5 × 30 = 150 cm³

Now we find the volume of water that flows through the pipe in one minute 

= 150 × 60 = 9000 cm³ = 9 liter

Hence, the volume of water that flows through the given pipe in 1 minute is 9 liter.

Вопрос 29. Сумма радиуса основания и высоты сплошного цилиндра равна 37 м. Если общая площадь поверхности твердого цилиндра равна 1628 см ² . Найдите объем цилиндра.

Решение:

Given that,

The total surface area of the cylinder = 1628 cm²

The sum of the radius of the base and height of a solid cylinder = 37 m                 

h + r = 37 cm …(1)

 Find: the volume of the cylinder.

Now we find the radius and height of the cylinder

So, total surface area of the cylinder = 2πr(h + r) = 1628

Therefore, 2πr × 37 = 1628

2 × 22/7 × r × 37 = 1628

r = 7 cm

Put the value of r in eq(1)

 h = 30 cm

Now lets calculate volume of the cylinder

Volume = πr²h

Volume = 22/7 × 7 × 7 × 30 = 4620 cm³

Hence, the volume of the given cylinder is 4620 cm³.

Вопрос 30. Найдите стоимость бурения трубчатого колодца глубиной 280 м и диаметром 3 м из расчета 3,60 рубля за куб. Найдите также стоимость цементирования его внутренней изогнутой поверхности в размере 2,50 рупий за квадратный метр.

Решение:

Given that,

Height of the tube well = 280 m,

Diameter the tube well = 3 m,

So, the radius of tube well = 3/2 m

Rate of sinking of the tube well = Rs. 3.60/m³,

Rate of cementing = Rs. 2.50/m²k

Now we find the volume of the tube well 

V = πr²h

= 22/7 × 3/2 × 3/2 × 280 = 1980 m²

Cost of Sinking the tube well = Volume of the tube well × Rate of sinking the tube well 

= 1980 × 3.60 = Rs 7128

Now we find the curved surface area 

CSA = 2πrh

= 2 × 22/7 × 3/2 × 280 = 2640 m²

Cost of cementing = Curved Surface area × Rate of cementing

= 2640 × 2.50 = Rs 6600

Hence, the total cost of sinking the tube well is Rs.7128 and 

the total cost of cementing its inner surface is Rs. 6600.

Вопрос 31. Найдите длину 13,2 кг медной проволоки диаметром 4 мм, если 1 куб. см меди весит 8,4 г.

Решение:

Given that,

Weight of copper wire = 13.2 kg = 13.2 × 1000 gm = 13200 gm

Diameter of copper wire = 4 mm,

So, the radius of the wire = 2 mm = 210 cm

Density = 8.4 gm / cm³,

Find: the length of the copper wire.

So, Volume × Density = Weight

Therefore, πr²h × 8.4 = 13.2

22/7 × 2/10 × 2/10 × h × 8 .4

h = 12500 cm = 125 m

Hence, the length of the copper wire is 125 meter.

Вопрос 32. Колодец с внутренним диаметром 10 м вырыт глубиной 8,4 м. Вынутую из него землю разбрасывают вокруг нее на ширину 7,5 м, образуя насыпь. Найдите высоту насыпи.

Решение:

Given that,

Inner diameter of the well = 10 m,

So, the radius of well = 5 m

The height of the well = 8.4 m,

Width of embankment = 7.5 m,

Find: the height of the embankment.

So, the outer radius of the embankment,

R = Inner radius of the well + width of the embankment

= 5 + 7.5 = 12.5 m

Let’s assume that H be the height of the embankment,

Volume of embankment = Volume of earth dug out

π(R² − r²)H = πr²h

22/7 × (12.5² − 5²)H = 22/7 × 5 × 5 × 8.4

H = 1.6 m

Hence, height of the embankment is 1.6 m.