Класс 12 Решения RD Sharma — Глава 33 Биномиальное распределение — Упражнение 33.2 | Набор 2
Вопрос 15. Игральную кость бросают трижды. Успех 1 или 6 в броске. Найдите среднее значение и дисперсию числа успехов.
Решение:
Let p denote the success and q denote failure of an event.
Now, the sample space when a dice is thrown is given by S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Hence, p = 2/6 = 1/3 and q = 1 – 1/3 = 2/3
Therefore, Mean = np = 3 × 1/3 = 1 and Variance = npq = 1 × 2/3 = 2/3
Вопрос 16. Если случайная величина X подчиняется биномиальному распределению со средним значением 3 и дисперсией 3/2, найдите P (X ≤ 5).
Решение:
We are given mean (np) = 3 and variance (npq) = 3/2.
Solving for the value of q,
q = 1/2, hence we can conclude p = 1 – 1/2 = 1/2
Now putting the value of p in relation, np = 3, we get n = 6
We know that a binomial distribution follows the relation:
P(X = r) = nCr pr(q)n-r
Therefore, in this case P(X = r) = 6Cr (1/2)r(1/2)6-r
P(X = r) = 6Cr (1/2)6
We are required to calculate the value for P(X ≤ 5) = 1 – P(X = 6)
P(X ≤ 5) = 1 – 6Cr (1/2)6
P(X ≤ 5) = 1 – (1/64)
P(X ≤ 5) = 63/64
Вопрос 17. Если X подчиняется биномиальному распределению со средним значением 4 и дисперсией 2, найдите P(X ≥ 5).
Решение:
We are given mean (np) = 4 and variance (npq) = 2.
Solving for the value of q, npq/np = 2/4
q = 1/2, hence we can conclude p = 1 – 1/2 = 1/2
Now putting the value of p in relation, np = 4, we get n = 8
We know that a binomial distribution follows the relation: P(X = r) = nCr pr(q)n-r
Therefore, in this case P(X = r) = 8Cr (1/2)r(1/2)8-r
P(X = r) = 8Cr (1/2)8
We are required to calculate the value
P(X ≥ 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)
P(X ≥ 5) = 8C5 (1/2)8 + 8C6 (1/2)8 + 8C7 (1/2)8 + 8C8 (1/2)8
P(X ≥ 5) = (1/2)8[8C5 + 8C6 + 8C7 + 8C8]
P(X ≥ 5) = (56 + 28 + 8 + 1)/256
P(X ≥ 5) = 93/256
Вопрос 18. Среднее значение и дисперсия биномиального распределения равны 4/3 и 8/9 соответственно. Найдите P(X ≥ 1).
Решение:
We are given mean (np) = 4 and variance (npq) = 2
Solving for the value of q, npq/np =
q = 2/3, hence we can conclude p = 1 – 2/3 = 1/3
Now putting the value of p in relation, np = 4/3, we get n = 4
We know that a binomial distribution follows the relation: P(X = r) = nCr pr(q)n-r
Therefore, in this case P(X = r) = 4Cr (1/3)r(2/3)4-r
We are required to calculate the value for P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0)
P(X ≥ 1) = 1 – 4C0 (1/3)0(2/3)4
P(X ≥ 1) = 1 – 16/81
P(X ≥ 1) = 65/81
Вопрос 19. Если сумма среднего и дисперсии биномиального распределения для 6 испытаний равна 10/3, найдите распределение.
Решение:
Given n = 6 and np + npq = 10/3
np (1 + q) = 10/3
6p (1 + 1 – p) = 10/3
12p – 6p2 = 10/3
18p2 – 36p + 10 = 0
Solving for the value of p we will get p = 1/3 or p = 5/3.
Since, the value of p cannot exceed 1, we will consider p = 1/3.
Therefore, q = 1 – 1/3 = 2/3
Now, a binomial distribution is given by the relation: nCr pr(q)n-r
P(x = r) = 6Cr (1/3)r(2/3)6-r for r = 0,1,2,….,6
Вопрос 20. Игральную кость бросают 4 раза. Если получение дублета считается успехом, найти распределение вероятностей числа успехов и, следовательно, найти его среднее значение.
Решение:
We are given n = 4 and
a doublet in the throw of a dice occurs when we get (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)
Therefore, the probability of success, p = 6/36 = 1/6, so q = 1 – 1/6 = 5/6
Now, a binomial distribution is given by the relation: nCr pr(q)n-r
P(x = r) = 4Cr (1/6)r(5/6)4-r for r = 0, 1, 2, 3, 4
Hence, the probability distribution is given as:
X
0
1
2
3
4
P(X) 625/1296 500/1296 150/1296 20/1296 1/1296 Mean = 0 × (625/1296) + 1 × (500/1296) + 2 × (150/1296) + 3 × (20/1296) + 0 × (1/1296)
= 864/ 1296
= 2/3
Вопрос 21. Найдите распределение вероятностей количества дублетов при трех бросках пары игральных костей и найдите его среднее значение.
Решение:
We are given n = 3 and
a doublet in the throw of a dice occurs when we get (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)
Therefore, the probability of success, p = 6/36 = 1/6, so q = 1 – 1/6 = 5/6
Now, a binomial distribution is given by the relation: nCr pr(q)n-r
P(x = r) = 3Cr (1/6)r(5/6)3-r for r = 0, 1, 2, 3
Hence, the probability distribution is given as:
X
0
1
2
3
P(X) 125/216 75/216 15/216 1/216 Mean = 0 × (125/216) + 1 × (75/216) + 2 × (15/216) + 3 × (1/216)
= 108/216
= 1/2
Вопрос 22. Из партии из 15 луковиц, включающей 5 бракованных, отбирают по одной с заменой выборку из 4 луковиц. Найдите распределение вероятности количества бракованных лампочек. Следовательно, найдите среднее значение распределения.
Решение:
Total number of bulbs = 15 and total defective bulbs = 5
Thus, the probability of getting one defective bulb with replacement, p = 5/15 = 1/3
Hence, q = 1 – 1/3 = 2/3.
Now, a binomial distribution is given by the relation: nCr pr(q)n-r
P(x = r) = 4Cr (1/3)r(2/3)4-r for r = 0, 1, 2, 3, 4
Hence, the probability distribution is given as:
X
0
1
2
3
4
P(X) 16/81 32/81 24/81 8/81 1/81 Mean = 0 × (16/81) + 1 × (32/81) + 2 × (24/81) + 3 × (8/81) + 4 × (1/81)
= 108/81
= 4/3
Вопрос 23. Жребий бросают три раза. Пусть X будет «количеством увиденных двоек». Найдите математическое ожидание X.
Решение:
We are given the number of throws, n = 3
Let p denote the probability of getting a 2 in the throw of a dice, then p = 1/6
Therefore, we can conclude 1 = 1 – 1/6 = 5/6
Now, the expectation of X denotes mean therefore, E(X) = np = 3 × 1/6 = 1/2
Вопрос 24. Жребий бросают дважды. «Успех» — это получение четного числа при жеребьевке. Найдите дисперсию числа успехов.
Решение:
We are given the number of times the coin is tossed, n = 2
Let p denote the probability of getting even number on dice upon throwing which is a success.
Thus, p = 3/6 = 1/2, therefore we can conclude q = 1 – p = 1 – 1/2 = 1/2
Now, the variance is given by npq.
Variance = 2 × 1/2 × 1/2 = 1/2
Вопрос 25. Из хорошо перетасованной колоды в 52 карты последовательно берутся три карты с возвратом. Найдите распределение вероятностей числа пик. Следовательно, найдите среднее значение распределения.
Решение:
Number of cards drawn with replacement, n = 3
p = Probability of getting a spade card upon withdrawal = 13/52 = 1/4
Thus, we can conclude, q = 1 – 1/4 = 3/4
Now, a binomial distribution is given by the relation: nCr pr(q)n-r
P(x = r) = 3Cr (1/4)r(3/4)3-r for r = 0, 1, 2, 3
Hence, the probability distribution is given as:
X
0
1
2
3
P(X) 27/64 27/64 9/64 1/64 Mean = 0 × (27/64) + 1 × (27/64) + 2 × (9/64) + 3 × (1/64)
= (27 + 18 + 3)/64
= 48/64
= 3/4
Вопрос 26. В урне 3 белых и 6 красных шаров. Из урны по очереди с возвратом извлекаются четыре шара. Найдите распределение вероятностей количества вынутых красных шаров. Кроме того, найдите среднее значение и дисперсию распределения.
Решение:
Let p denote the probability of drawing a red ball which is considered a success, p = 6/9 = 2/3
And the probability of drawing a white ball which is considered a failure, q = 3/9 = 1/3
We have to draw four balls, so n = 4.
Hence, the mean of the probability distribution = np = 4 × 2/3 = 8/3
And variance = npq = 8/3 × 1/3 = 8/9
Now, a binomial distribution is given by the relation: nCr pr(q)n-r
P(x = r) = 4Cr (2/3)r(1/3)4-r for r = 0, 1, 2, 3, 4
Hence, the probability distribution is given as:
X
0
1
2
3
4
P(X) 1/81 8/81 24/81 32/81 16/81
Вопрос 27. Пять плохих апельсинов случайно смешаны с 20 хорошими. Если последовательно с заменой вынимаются четыре апельсина, то найти распределение вероятностей количества вытащенных плохих апельсинов. Следовательно, найдите среднее значение и дисперсию распределения.
Решение:
Let p denote the probability of drawing a bad orange which is considered a success, p = 5/25 = 1/5
And the probability of drawing a good orange which is considered a failure, q = 20/25 = 4/5
We have to draw four oranges, so n = 4
Hence, the mean of the probability distribution = np = 4 × 1/5 = 4/5
And the variance = npq = 4/5 × 4/5 = 16/25
Now, a binomial distribution is given by the relation: nCr pr(q)n-r
P(x = r) = 4Cr (1/5)r(4/5)4-r for r = 0, 1, 2, 3, 4
Hence, the probability distribution is given as:
X
0
1
2
3
4
P(X) 256/625 256/625 96/625 16/625 1/625