Класс 12 RD Sharma Solutions – Глава 31 Вероятность – Упражнение 31.3 | Набор 2
Вопрос 15. Брошена пара игральных костей. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7, если известно, что на втором кубике всегда выпадает простое число.
Решение:
A = Sum on two dice equals 7 = {(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)}
B = Second die always exhibits a prime number = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1),
(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3),
(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}
(A ∩ B) = {(6, 1), (2, 5), (4, 3)}
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)
= 3/18
= 1/6
Вопрос 16. Бросается игральная кость. Если результатом является нечетное число, какова вероятность того, что оно простое?
Решение:
A die is rolled
A = A prime number on die = {2, 3, 5}
B = An odd number on die = {1, 3, 5}
(A ∩ B) = {3, 5}
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)
= 2/3
Вопрос 17. Брошена пара игральных костей. Найдите вероятность выпадения суммы 8 и более, если на первом кубике выпадет 4.
A pair of dice is thrown
A = Getting sum of 8 or more = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4), (3, 6), (6, 3)
(4, 5), (5, 4), (4, 6), (6, 4), (5, 5), (6, 5), (5, 6), (6, 6)}
B = 4 on first die = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)}
(A ∩ B) = {(4, 4), (4, 5), (4, 6)}
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)
= 1/2
Вопрос 18. Найдите вероятность того, что сумма чисел, выпавших на двух кубиках, равна 8, если хотя бы на одном кубике не выпало пять.
Решение:
A pair of dice is thrown
A = Getting sum of 8 or more = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)}
B = At least one die does not show 5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 6),
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6)}
(A ∩ B) = {(2, 6), (4, 6), (6, 2)}
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)
= 3/25
Вопрос 19. Наугад выбирают два числа из целых чисел от 1 до 9. Если сумма четная, найти вероятность того, что оба числа нечетные.
Решение:
A = Both numbers are odd = {(3, 1), (5, 1), (7, 1), (9, 1), (3, 7), (5, 7), (9, 7)
(3, 9), (5, 9), (7, 9), (7, 3), (7, 5), (7, 9), (5, 3)
(9, 3), (1, 3), (1, 5), (1, 7)}
B = Sum of both numbers is even = {(1, 3), (1, 5), (2, 4), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (1, 9),
(2, 8), (3, 7), (4, 6), (7, 5), (8, 4), (9, 3), (8, 6),
(9, 5), (9, 7)}
(A ∩ B) = {(1, 3), (1, 5), (1, 7), (3, 5), (1, 9), (3, 7), (7, 5), (9, 3), (9, 5), (9, 7)
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)
= 10/16 = 5/8
Вопрос 20. Игральную кость бросают дважды, и сумма выпавших чисел равна 8. Какова условная вероятность того, что число 5 выпало хотя бы один раз?
A die is thrown twice
A = The number 5 has appeared at least once
A = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6)}
B = Sum of numbers is 8 = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
(A ∩ B) = {(3, 5), (5, 3)}
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)
= 2/5
Вопрос 21. Бросают две игральные кости и известно, что на первой кости выпало 6. Найти вероятность того, что сумма чисел, выпавших на двух игральных костях, равна 7.
Решение:
Two dice are thrown
A = Sum of the numbers is 7 = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
B = First die shows a 6 = {(6, 1), ((6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
(A ∩ B) = {(6, 1)}
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)
= 1/6
Вопрос 22. Брошена пара игральных костей. Пусть A — событие, когда сумма больше или равна 10, а F — событие «5 выпадает на первом кубике». Найдите Р(А/В). Если B — это событие «5 выпадает хотя бы на одном кубике», штраф P(A/B).
Решение:
A pair of dice is thrown
A = Sum is greater than or equal to 10 = {(4, 6), (6, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}
Case 1: B = 5 appears on first die = {(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}
(A ∩ B) = {(5, 5), (5, 6)}
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)
= 2/6 = 1/3
Case 2: B = 5 appears on at least one die = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (6, 5),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}
(A ∩ B) = {(5, 5), (5, 6), (6, 5)}
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)
= 3/11
Вопрос 23. Вероятность того, что учащийся, выбранный наугад из класса, сдаст экзамен по математике, составляет 4/5, а вероятность того, что он сдаст экзамен по математике и информатике, составляет 1/2. Какова вероятность того, что он/она сдаст экзамен по информатике, если известно, что он/она сдал экзамен по математике?
Решение:
Probability to pass mathematics: P(M) = 4/5
Probability to pass Mathematics(M) and Computer Science (C) = P(M ∩ C) = 1/2
We know that, P(C/M) = P(M ∩ C) /P(M)
= (1/2) ÷ (5/4) = 5/8
Вопрос 24. Вероятность того, что некий человек купит рубашку, равна 0,2, вероятность того, что он купит брюки, равна 0,3, а вероятность того, что он купит рубашку при условии, что он купит брюки, равна 0,4. Найдите вероятность того, что он купит и рубашку, и брюки. Найдите также вероятность того, что он купит брюки, если он покупает рубашку.
Решение:
Probability that a person buys a shirt(S) = P(S) = 0.2
Probability that he buys a trouser(T) = P(T) = 0.3
P(S/T) = 0.4
We know that,
P(S/T) = P(S ∩ T)/P(T)
P(S ∩ T) = 0.4 × 0.3 = 0.12
P(T/S) = P(S ∩ T)/P(S)
= 0.12/0.2 = 0.6
Вопрос 25. В школе 1000 учащихся, из них 430 девочек. Известно, что из 430 10% девочек учатся в XII классе. Какова вероятность того, что случайно выбранный ученик будет учиться в XII классе, если выбрана девочка.
Решение:
Total students = 1000
Number of girls = 430
Let A = Student chosen studies in class XII
B = Student chosen is a girl
Then P(B) = 430/1000
P(A ∩ B) = 43/1000
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)
= 43/430 = 1/10
Вопрос 26. Десять карт с номерами от 1 до 10 кладут в коробку, тщательно перемешивают, а затем случайным образом вынимают одну карту. Если известно, что на взятой карте число больше 3, какова вероятность того, что это число четное?
Решение:
Total number of cards = 10
Let A = drawn number is more than 3
B = drawn number is even
P(B/A) = P(B ∩ A)/P(A)
P(A) = 7/10
P(A ∩ B) = 4/10
P(B/A) = 4/7
Вопрос 27. Предположим, что каждый родившийся ребенок с равной вероятностью будет мальчиком или девочкой. Если в семье двое детей, какова условная вероятность того, что оба девочки? При условии
(i) младшая девочка
(ii) по крайней мере одна девушка.
Решение:
(i) Let ‘A’ be the event that both the children born are girls.
Let ‘B’ be the event that the youngest is a girl.
We have to find conditional probability P(A/B).
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)
P(A ∩ B) = P(A) = P(GG)
= 1/2 × 1/2 = 1/4
P(B) = P(BG) + P(GG)
= 1/2 × 1/2 + 1/2 × 1/2 = 1/2
Hence, P(A/B) = (1/4) ÷ (1/2) = 1/2
(ii) Let ‘A’ be the event that both the children born are girls.
Let ‘B’ be the event that at least one is a girl.
We have to find the conditional probability P(A/B).
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)
P(A ∩ B) = P(A) = P(GG)
= 1/2 × 1/2 = 1/4
P(B) = 1 – P(BB)
= 1 – 1/2 × 1/2 = 1 – 1/4 = 3/4
Hence, P(A/B) = (1/4) ÷ (3/4) = 1/3