Класс 11 RD Sharma Solutions — Глава 4 Измерение углов — Упражнение 4.1 | Набор 2

Вопрос 11. Кривая железной дороги должна быть проложена по окружности. Какой радиус следует использовать, если трасса должна изменить направление на 25 ^o на расстоянии 40 метров.

Решение:

Let AB denote the given rail-road. 

We are given ∠AOB = 25^o. We know 180^o = π radians = π^c or 1^o = (π/180)^c

Hence 25^o = 25 × π/180 = 5π/36 radians

Also since, θ = Arc/Radius ⇒ ∠AOB = AB/OA ⇒ (5π/36)^c = 40/r ⇒ r = 288/π = 91.64 m 

Hence, the radius of the track is 91.64 m.

Вопрос 12. Найдите длину, которая на расстоянии 5280 м будет стягивать глаз под углом 1'.

Решение:

Let θ = 1’ and the length of the arc that subtends θ be l.

Radius = OA = OB = 5280m 

We know, 1’ = 60^o ⇒ 1’ = (1/60)^o.  Since 180^o = π radians = π^c or 1^o = (π/180)^c,

⇒ θ = 1’ = (1/60 × π/180)^c 

Also since, θ = Arc/Radius ⇒ (1/60 × π/180)^c = l/5280 ⇒ l = 1.5365 m

Hence, the length of the arc is 1.5365 m.

Вопрос 13. Колесо делает 360 оборотов в минуту. На сколько радиан она поворачивается за 1 секунду?

Решение:

Since the wheel makes 360 revolutions in 1 minute, number of revolutions made by it in 1 second = 360/60 = 6.

Angle made by the wheel in 1 revolution = 360^o

Thus, angle made by the wheel in 6 revolutions = Angle made in 1 second = 360 × 6 = 2160^o

We know 180^o = π radians = π^c or 1^o = (π/180)^c

Hence, 2160^o = (2160π/180)^c = 12π radians

Thus, the wheel turns 12π radians in 1 second.

Вопрос 14. Найдите угол в радианах, на который качается маятник, если его длина 75 см и острие описывает дугу длиной:

(и) 10 см

Решение:

Let OA be the length of the pendulum. ⇒ OA = 75 cm = 0.75 m

Let the arc be denoted by AB. ⇒ AB = 10 cm = 0.1 m

Also since, θ = Arc/Radius = 0.1/0.75 = 2/15 radians

Hence, the angle is 2/15 radians.

(ii) 15 см

Решение:

Let OA be the length of the pendulum. ⇒ OA = 75 cm = 0.75 m

Let the arc be denoted by AB. ⇒ AB = 15 cm = 0.15 m

Also since, θ = Arc/Radius = 0.15/0.75 = 1/5 radians

Hence, the angle is 1/5 radians.

(iii) 21 см

Решение:

Let OA be the length of the pendulum. ⇒ OA = 75 cm = 0.75 m

Let the arc be denoted by AB. ⇒ AB = 15 cm = 0.21 m

Also since, θ = Arc/Radius = 0.21/0.75 = 7/25 radians

Hence, the angle is 7/25 radians.

Вопрос 15. Радиус окружности равен 30 см. Найдите длину дуги окружности, если длина хорды дуги равна 30 см.

Решение:

Let OA = OB = Radius of the circle = 30 cm = 0.3 m, and chord AB = 30 cm = 0.3 m. Let l be the length of the arc AB. 

Since, OA = OB = AB = 0.3 m, the triangle AOB is an equilateral triangle.

∠AOB = 60^o. We know 180^o = π radians = π^c or 1^o = (π/180)^c

Hence, 60^o = 60 × π/180 = π/3 radians

Also since, θ = Arc/Radius ⇒ (0.3π/3) = 0.1 0.1π m = 10π cm

Hence, the length of the arc is 10π cm.

Вопрос 16. Железнодорожный поезд движется по дуге окружности радиусом 150 м со скоростью 66 км/ч. На какой угол он повернулся за 10 секунд?

Решение:

In the given circular track, OA = OB = r = 150 m

Let θ denote the angle the train turns in 10 seconds.

We are given that speed = 66 km/hr = {66 × 1000/60 × 60} m/sec = 110/6 m/sec

Hence, the train will run 1100/6 m/sec in 10 seconds. ⇒ arc AB = 1100/6 m

Also since, θ = Arc/Radius = 1100/6 × 1500 = 11/90 radians

Hence, the angle is 11/90 radians.

Вопрос 17. Найдите расстояние от глаза, на котором следует провести монету диаметром 2 см, чтобы можно было скрыть полную луну, угловой диаметр которой равен 31 ^' ?

Решение:

We are given θ = 31’ and arc AB = 2 cm = 0.02 m

Since, 1’ = 60^o ⇒ 1’ = (1/60)^o.  Since 180^o = π radians = π^c or 1^o = (π/180)^c,

⇒ θ = 31’ = (31/60 × π/180)^c

Also since, θ = Arc/Radius ⇒ (31/60 × π/180) = 0.02/r ⇒ r = 2.217 m

Hence, the coin shall be placed at a distance of 2.217 m from the eye.

Вопрос 18. Найдите диаметр Солнца в километрах, предположив, что оно образует угол 32' в глазу наблюдателя. Учитывая, что расстояние до Солнца составляет 91 × 10 ⁶ км.

Решение:

We are given θ = 31’ and r = 91 × 10⁶ km

Since, 1’ = 60^o ⇒ 1’ = (1/60)^o.  Since 180^o = π radians = π^c or 1^o = (π/180)^c,

⇒ θ = 32’ = (32/60 × π/180)^c

Also since, θ = Arc/Radius ⇒ (32/60 × π/180) = (AB/91 × 10⁶) km = 847407.4 km

Hence, the distance of sun is 847407.4 km

Вопрос 19. Если дуги одинаковой длины в двух окружностях образуют в центре углы 65 ^° и 110 ^° , найдите отношение их радиусов.

Решение:

Let C₁ and C₂ denote the two given circles with the same arc length l.

Hence, AB = CD = l

Let θ₁ and θ₂ be the angles subtended, and OA = OB = r and OC = OD = R

Given, θ₁ = 65^o = (65π/180)^c and θ₂ = 110^o = (110π/180)^c

Also since, θ = Arc/Radius ⇒ θ₁ = AB/r = l/r or r= l/θ₁     …….(1)

and, θ₂ = CD/R = l/R or R = l/θ₂        …..(2)

From equations (1) and (2), we get,

r/R = l/θ₁ / l/θ₂ = 110π/180 / 65π/180 = 22/13

Hence, the ratio of radii of both circles is 22:13.

Вопрос 20. Найдите градусную меру угла, образуемого в центре окружности радиусом 100 см дугой длиной 22 см, используя π = 22/7.

Решение:

Let O denote the centre of the circle and AB denote the arc.

Hence, arc AB = 22 cm, and OA = OB = radius = 100cm

Let θ be the angle subtended by the arc at the centre O by arc AB.

We know, θ = Arc/Radius = 22/100 radians

Since π radians = 180^o or 1 radian = 1^c = (180/π)^o

Hence, 22/100 radians = (22/100 × 180/π)^o = 12.6^o = 12^o36′

Thus, the angle subtended by the arc at the centre of the circle is 12^o36′.