Класс 10 RD Sharma Solutions — Глава 16 Площади поверхности и объемы — Упражнение 16.2 | Набор 3

Вопрос 25. От одной грани кубического деревянного бруска с ребром 21 см вырезано полусферическое углубление так, что диаметр полусферической поверхности равен ребру кубической поверхности. Определить объем и общую площадь поверхности оставшегося блока.

Решение:

According to the question 

Edge of the cubical wooden block (e) = 21 cm,

Diameter of the hemisphere = Edge of the cubical wooden block = 21 cm,

So, the radius of the hemisphere (r) = 10.5 cm

Now, we find the volume of the remaining block 

V = volume of the cubical block – volume of the hemisphere

V = e³ − (2/3 πr³)

=  21³ − (2/3 π10.5³) = 6835.5 cm³

Now, we find the surface area of the block 

A_S = 6(e²) = 6(21²)          

Now, we find the curved surface area of the hemisphere 

A_C = 2πr² = 2π10.5²        

The base area of the hemisphere is

A_B = πr² = π10.5²                

So, the remaining surface area of the box 

= A_S – (A_C + A_B)

= 6(21²) – (2π10.5² + π10.5²) = 2992.5 cm²

Hence, the remaining surface area of the block is 2992.5 cm² and the volume is 6835.5 cm³

Вопрос 26. Мальчик играет с игрушкой в форме полушария, увенчанного прямым круговым конусом с таким же радиусом в основании, что и у полушария. Если радиус основания конуса равен 21 см, а его объем равен 2/3 объема полушария. Вычислите высоту конуса и площадь поверхности игрушки.

Решение:

According to the question 

Radius of the cone (R) = 21 cm,

Radius of the hemisphere = Radius of the cone = r = 21 cm,

Now, we find the volume of the cone 

V1 = 1/3 × πR²L

Here, L is the slant height of the comne

= 1/3 × π21²L

Now, we find the volume of the Hemisphere 

V2 = 2/3 × πR³

= 2/3 × π x 21³ = 169714.286 cm³

Since, volume of the cone = 2/3 of the hemisphere,       

So,

V1 = 2/3 V2

V1 = 2/3 ×169714.286

1/3 × π x 21² x L = 2/3×π x 21³

L = 28 cm

So, the height of the cone is 28 cm

Now, we find the curved surface area of the cone 

A1 = πRL

A1 = π × 21 × 28 cm²

Now, we find the curved curface area of the hemisphere 

A2 = 2πR²

A2 = 2π(21²) cm²

Hence, the total surface area of the toy 

A = A1 + A2

= π × 21 × 28 + 2π(21²)

= 5082 cm²

Hence, the curved surface area of the toy is 5082 cm²  

Вопрос 27. Рассмотрим твердое тело, имеющее форму конуса, увенчанного полусферой. Радиус каждого из них равен 3,5 см, а общая высота тела равна 9,5 см. Найдите объем твердого тела.

Решение:

According to the question 

Radius of the cone = Radius of the hemisphere = R = 3.5 cm,

Total height of the solid (H) = 9.5 cm,

Slant height of the cone = H – R

L = 9.5 – 3.5 = 6 cm

Now, we find the volume of the cone 

V1 = 1/3 × πR²L

= 1/3 × π x 3.5² x 6 cm³          

Now, we find the volume of the hemisphere 

V2 = 2/3 × πR³

= 2/3 × π5³ cm³                  —————(ii)

Hence, the total volume of the solid is 

V = V1 + V2

= 1/3 × π x 3.5² x 6 + 2/3 × π x 5³

= 166.75 cm³

Hence, the volume of the solid is 166.75 cm³

Вопрос 28. Деревянную игрушку изготавливают, вычерпывая полусферы одинакового радиуса с обоих концов сплошного цилиндра. Если высота цилиндра 10 см, а радиус его основания 3,5 см, найдите объем дерева в игрушке.

Решение:

According to the question 

Radius of the cylinder = Radius of the hemisphere (r) = 3.5 cm 

Height of the hemisphere (h) = 10 cm

Now, we find the volume of the cylinder 

V1 = π × r² × h 

= π × 3.5² × 10        

Now, we find the volume of the hemisphere 

V2 = 2/3 × πr³

= 2/3 × π x 3.5³ cm³            

Hence, the volume of the wood in the toy is 

V = V1 – 2(V2)

= π × 3.5² × 10 – 2(2/3 × π x 3.5³)

= 205.33 cm³

Hence, the volume of the wood in the toy is 205.33 cm³

Вопрос 29. Максимально большая сфера вырезается из твердого деревянного куба со стороной 7 см. Найдите объем оставшихся дров.

Решение:

According to the question 

Diameter of the wooden solid = 7 cm,

Radius of the wooden solid = 3.5 cm,

Now, we find the volume of the cube 

V1 = a³,

= 3.5³               

Now, we find the volume of sphere 

V2 = 4/3 × π × r³

= 4/3 × π × 3.5³          

Hence, the volume of the wood left 

V = V1 + V2

= 3.5³ − 4/3 × π × 3.5³

= 163.33 cm³

Hence, the volume of the wood left is 163.33 cm³

Вопрос 30. Из сплошного цилиндра высотой 2,8 см и диаметром 4,2 см выдолблена коническая полость такой же высоты и такого же диаметра. Найдите полную площадь поверхности оставшегося тела.

Решение:

According to the question 

Height of the cylinder = Height of the cone = H = 2.8 cm

Diameter of the cylinder = 4.2 cm,

So, the radius of the cylinder = Radius of the cone = R = 2.1 cm 

Now, we find the curved surface area of the cylindrical part 

A1 = 2πRH

= 2π(2.8)(2.1) cm²

Now, we find the curved surface area the cone = πRL

A2 = π × 2.1 × 2.8 cm²

The area of the cylindrical base = AB = πr² = π(2.1)²

Hence, the total surface area of the remaining solid is

A = A1 + A2 + AB 

= 2π(2.8)(2.1) + π × 2.1 × 2.8 + π(2.1)²

= 36.96 + 23.1 + 13.86

= 73.92 cm²

Hence, the total surface area of the remaining solid is 73.92 cm²

Вопрос 31. Из одной грани сплошного куба со стороной 21 см вырезается самый большой конус. Найдите объем оставшегося тела.

Решение:

According to the question 

Diameter of the cone = 21 cm,

So, the radius of the cone = 10.5 cm,

The height of the cone is equal to the side of the cone,

Now, we find the volume of the cube

V1 = e³

= 10.5³          

Now, we find the volume of the cone 

V2 = 1/3 × πr²L

= 1/3 × π10.5221 cm³  

Hence, the volume of the remaining solid 

V = V1 – V2

= 10.53 – 1/3 × π x 10.5² x 21

= 6835.5 cm³

Hence, the volume of the remaining solid is 6835.5 cm³

Вопрос 32. Массивная деревянная игрушка имеет форму полусферы, увенчанной конусом того же радиуса. Радиус полусферы равен 3,5 см, а общий объем древесины, использованной при изготовлении игрушки, равен 166 5/6 см ³ . Найдите высоту игрушки. Также найдите стоимость покраски полусферической части игрушки из расчета 500 000 рублей. 10 за квадратный сантиметр.

Решение:

According to the question 

Radius of the hemisphere = 3.5 cm,

Volume of the solid wooden toy =  cm³,

Hence, the volume of the solid wooden toy = volume of the cone + volume of the hemisphere 

1/3 × πr²L + 2/3 × πr³ = 10016

1/3 × π3.5²L + 2/3 × π3.5³ = 10016

L + 7 = 13

L = 6 cm

Height of the solid wooden toy = Height of the cone + Radius of the hemisphere

= 6 + 3.5 = 9.5 cm

Now, we find the curved surface area of the hemisphere 

A = 2πR²

= 2π(3.5²) = 77 cm²

Cost of painting the hemispherical part of the toy = 10 x 77 = Rs. 770

Hence, the cost of painting the hemispherical part of the toy is 770 rupees

Вопрос 33. Сколько сферических пуль можно сделать из сплошного свинцового куба, длина ребра которого составляет 55 см, а диаметр каждой пули — 4 см?

Решение:

According to the question 

Diameter of the bullet = 4 cm,

Radius of the spherical bullet = 2 cm 

So, the volume of a spherical bullet is 

V = 4/3 × π × r³ 

=  4/3 × π × 2³

= 4/3 × 22/7 × 2³ = 33.5238 cm³

Let’s assume that the total number of bullets be a.

So, the volume of ‘a’ number of the spherical bullets 

V1 = V x a

= (33.5238 a) cm³

and the Volume of the solid cube = (55)³ = 166375 cm³

Now, we find the volume of ‘a’ number of the spherical bullets = Volume of the solid cube

33.5238 a = 166375

a = 4962.892

Hence, the total number of the spherical bullets is 4963

Вопрос 34. Рассмотрим детскую игрушку, имеющую форму конуса вершиной радиусом 5 см, установленного на полусферу, являющуюся основанием игрушки того же радиуса. Общая высота игрушки 20 см. Найдите полную площадь поверхности игрушки.

Решение:

According to the question 

Radius of the conical portion of the toy (r) = 5 cm,

Total height of the toy (h) = 20 cm,

Length of the cone = L = 20 – 5 = 15 cm,

Now, we find the curved surface area of the cone 

A1 = πrL 

= π(5)(15) = 235.7142 cm²

Now, we find the curved surface area of the hemisphere 

A2 = 2πr² 

= 2π(5)² = 157.1428 cm²

Therefore, The total surface area of the toy is 

A = A1 + A2

= 235.7142 + 157.1428

= 392.857 cm²

Hence, the total surface area of the children’s toy is 392.857 cm²

Вопрос 35. Мальчик играет игрушкой конической формы с увенчанной полусферой поверхностью. Рассмотрим цилиндр, в который вставлена игрушка. Диаметр конуса такой же, как у радиуса цилиндра и полусферической части игрушки, который равен 8 см. Высота цилиндра 6 см, высота конической части игрушки 3 см. Предположим, что игрушка мальчика вставлена в цилиндр, затем найдите объем цилиндра, оставшийся свободным после вставления игрушки.

Решение:

According to the question 

Diameter of the cone = Diameter of the Cylinder = Diameter of the Hemisphere = 8 cm,

So, Radius of the cone = Radius of the cylinder = Radius of the Hemisphere = r = 4 cm

Height of the conical portion (L) = 3 cm,

Height of the cylinder (H) = 6 cm,

Now, we find the volume of the cylinder 

V1 = π × r² × H 

= π × 4² × 6 = 301.7142 cm³

Now, we find the vcolume of the Conical part of the toy 

V2 = 1/3 × πr²L

= 1/3 × π4² × 3 = 50.2857 cm³

Now, we find the volume of the hemispherical part of the toy 

V3 = 2/3 × πr³

= 2/3 × π4³ = 134.0952 cm³

Hence, the remaining volume the cylinder left vacant after insertion of the toy is

V = V1 – (V2 + V3)

= 301.7142 – (50.2857 + 134.0952) = 301.7142 – 184.3809

= 117.3333 cm³

Hence, the remaining volume the cylinder left vacant after insertion of the toy is 117.3333 cm3

Вопрос 36. Рассмотрим твердое тело, состоящее из прямого круглого конуса высотой 120 см и радиусом 60 см, стоящего на полусфере радиуса 60 см, помещенной вертикально в правый круглый цилиндр, наполненный водой, так, что он касается дна. Найдите объем воды, оставшейся в цилиндре, если радиус цилиндра 60 см, а высота 180 см.

Решение:

According to the question 

Radius of the circular cone (r) = 60 cm,

Height of the circular cone (L) = 120 cm,

Radius of the hemisphere (r) = 60 cm,

Radius of the cylinder (R) = 60 cm,

Height of the cylinder (H) = 180 cm,

Now, we find the volume of the circular cone 

V1 = 1/3 × πr²L

= 1/3 × π60² × 120

= 452571.429 cm³

Now, we find the volume of the hemisphere 

V2 = 2/3 × πr³

= 2/3 × π60³ = 452571.429 cm³

Now, we find the volume of the cylinder 

V3 = π × R² × H

= π × 60² × 180 = 2036571.43 cm³

Hence, the volume of water left in the cylinder is

V = V3 – (V1 + V2)

= 2036571.43 – (452571.429 + 452571.429)

= 2036571.43 – 905142.858 = 1131428.57 cm³

= 1.1314 m³

Hence, the volume of the water left in the cylinder is 1.1314 m³

Вопрос 37. Рассмотрим цилиндрический сосуд с внутренним диаметром 20 см и высотой 12 см, наполненный водой. Сплошной конус с диаметром основания 8 см и высотой 7 см полностью погружен в воду. Найдите ценность воды, когда

(i) Вытесненный из цилиндра

(ii) Оставленный в цилиндре

Решение:

According to the question 

Internal diameter of the cylindrical vessel = 20 cm,

So, the radius of the cylindrical vessel (r) = 10 cm 

Height of the cylindrical vessel (h) = 12 cm,

Base diameter of the solid cone = 8 cm,

So, the radius of the solid cone (R) = 4 cm 

Height of the cone (L) = 7 cm,

(i) Now, we find the volume of water displaced out from the cylinder which is equal to the volume of the cone 

V1 = 1/3 × πR²L

= 1/3 × π4² × 7 = 117.3333 cm³

Hence, the volume of the water displaced out of the cylinder is 117.3333 cm³

(ii) The volume of the cylindrical vessel is

V2 = π × r² × h

= π × 102 × 12 = 3771.4286 cm³

Hence, the volume of the water left in the cylinder is

V = V2 – V1

= 3771.4286 – 117.3333 = 3654.0953 cm³

Hence, the volume of the water left in cylinder is 3654.0953 cm³