Класс 10 RD Sharma Solutions — Глава 15 Области, связанные с кругами — Упражнение 15.4 | Набор 2

Вопрос 18. На данном рисунке найдите площадь заштрихованной области. (Используйте π = 3,14).

Решение:

The side of the square = 14 cm

So, area = side² 

14² = 196 cm²

Let’s assume the radius of each semi-circle be r cm.

Then,

r + 2r + r = 14 – 3 – 3

4r = 8

 r = 2

So, the radius of each semi-circle is 2 cm.

Area of 4 semi-circles = (4 x 1/2 x 3.14 x 2 x 2) = 25.12 cm²

Now, 

the length of side of the smaller square = 2r = 2 x 2 = 4 cm

So, the area of smaller square = 4×4 = 16 cm²

Now we find the area of unshaded region = Area of 4 semi-circles + Area of smaller square

= (25.12 + 16) = 41.12 cm²

Now we find the area of shaded region = Area of square ABCD – Area of unshaded region

= (196 – 41.12) = 154.88 cm²

Hence, the area of the shaded region 154.88 cm²

Вопрос 19. На рисунке OACB представляет собой квадрант окружности с центром O и радиусом 3,5 см. Если ОД = 2 см, найдите площадь

(i) квадрант OACB

(ii) заштрихованная область.

Решение:

Given that, 

Radius of small quadrant, r = 2 cm

Radius of big quadrant, R = 3.5 cm

(i) Area of quadrant OACB = 1/4 πR²

= 1/4 (22/7)(3.5)²

= 269.5/28 = 9.625 cm²

(ii) Area of shaded region = Area of big quadrant – Area of small quadrant

= 1/4 π(R² – r²)

= 1/4 (22/7)(3.52 – 22)

= 1/4 (22/7)(12.25 – 4)

= 1/4 (22/7)(8.25)

= 6.482 cm²

Hence, the area of the quadrant OACB is 9.625 cm² and shaded region is 6.482 cm²

Вопрос 20. На рисунке квадрат OABC вписан в квадрант OPBQ окружности. Если ОА = 21 см, найдите площадь заштрихованной области.

Решение:

Given,

Side of the square = 21 cm = OA

Area of the square = OA² = 21² = 441 cm²

Diagonal of the square OB = √2 OA = 21√2 cm

From the figure its seen that,

The diagonal of the square is equal to the radius of the circle, r = 21√2 cm

So, 

The area of the quadrant = 1/4 πr² = 1/4 (22/7)(21√2)² = 693 cm²

Now we find the area of the shaded region = Area of the quadrant – Area of the square

= 693 – 441

= 252 cm²

Hence, the area of the shaded region is 252 cm²

Вопрос 21. На рисунке ОАВС — квадрат со стороной 7 см. Если OAPC является квадрантом цирисы с центром O, то найдите площадь заштрихованной области. (Используйте π = 22/7)

Решение:

Given that, 

Side of OABC square = 7 cm

So, OA = AB = BC = OC = 7 cm

Now, the area of square OABC = side² = 7² = 49 cm²

It is given that OAPC is a quadrant of a circle with centre O.

So, the radius of the quadrant = OA = OC = 7 cm

Area of the OAPC quadrant = 90/360 x πr²

= 1/4 x (22/7) x 7²

= 77/2 = 38.5 cm²

Now we find the area of shaded portion = Area of square OABC – Area of quadrant OAPC

= (49 – 38.5) = 10.5 cm²

Hence, the area of shaded portion is 10.5 cm²

Вопрос 22. На рисунке ОЕ = 20 см. В сектор OSFT вписан квадрат OEFG. Найдите площадь заштрихованной области.

Решение:

Given that, 

Side of OEFG square = 20 cm.

So its diagonal = √2 side = 20√2 cm

And, the radius of the quadrant(r) = diagonal of the square

r = 20√2 cm

Now we find the area of the shaded portion = Area of quadrant – Area of square

= 1/4 πr² – side²

= 1/4 (22/7)(20√2)² – (20)²

= 1/4 (22/7)(800) – 400

= 400 x 4/7 = 1600/7 = 228.5 cm²

Hence, the area of the shaded region 228.5 cm² 

Вопрос 23. Найдите площадь заштрихованной области на рисунке, если АС = 24 см, ВС = 10 см и О — центр окружности. (Используйте π = 3,14)

Решение:

Given,

AC = 24 cm and BC = 10 cm

From the figure AB is the diameter of the circle

So, ∠ACB = 90^o

By using Pythagoras theorem

AB² = AC² + BC² = 24² + 10² = 576 + 100 = 676       

So, AB = √676 = 26 cm

So, the radius of the circle(r) = 26/2 = 13 cm

Now we find the area of shaded region = Area of semi-circle – Area of triangle ACB

= 1/2 πr² – 1/2 x b x h

= 1/2 (22/7)13² – 1/2 x 10 x 24

= 265.33 – 120

= 145.33 cm²

Hence, the area of shaded region is 145.33 cm²

Вопрос 24. В равносторонний треугольник АВС вписана окружность со стороной 12 см, касающейся его сторон (см. рисунок). Найдите радиус вписанной окружности и площадь заштрихованной части.

Решение:

Given that,

Side of ABC triangle = 12 cm

So, the area of the equilateral triangle = √3/4(side)²

= √3/4(12)² = 36√3 cm²

Also the perimeter of triangle ABC = 3 x 12 = 36 cm

Now we find the radius of incircle = Area of triangle/ ½ (perimeter of triangle)

= 36√3/ 1/2 x 36

= 2√3 cm

Also, we find the area of the shaded part = Area of equilateral triangle – Area of circle

= 36√3 – πr²

= 36(1.732) – (3.14)(2√3)²

= 62.352 – 37.68

= 24.672 cm²

Hence, the area of the shaded part is 24.672 cm²

Вопрос 25. На рисунке в окружность вписан равносторонний треугольник ABC со стороной 6 см. Найдите площадь заштрихованной области. (Возьмите π = 3,14)

Решение:

Given that, 

The side of ABC triangle = 6 cm

So, the area of the equilateral triangle = √3/4(side)²

= √3/4(6)²

= √3/4(36)

= 9√3 cm²

Let us mark the centre  of the circle as O, OA and OB are the radii of the circle.

In triangle BOD,

sin 60^o = BD/ OB

√3/2 = 3/ OB

OB = 2√3 cm = r

Now we find the area of shaded region = Area of the circle – area of the equilateral triangle

= πr² – 9√3

= 3.14 x (2√3)² – 9√3

= 3.14 x 12 – 9 x 1.732

= 37.68 – 15.588

= 22.092 cm²

Hence, the area of the shaded region 22.092 cm²

Вопрос 26. Круглое поле имеет периметр 650 м. На поле отмечен квадратный участок, вершины которого лежат на окружности поля. Вычислите площадь квадратного участка.

Решение:

Given that, the circular field has a perimeter = 650 m

As we know that the circumference of circle = 2πr

650 = 2×22/7xr

r = (650×7)/44

r = 103.409 m

As the diagonal of the square plot is the diameter of the circle.

Hence, r × 2 = d

So, diameter = 103.409 x 2

As we know that the Diameter of circle = 206.818 m = Diagonal of square plot

Now we find the area of the square plot = 1/2 × d²

= 1/2 × (206.818)²

= 1/2 × 42773.68

Hence, the area of the square plot is 21386.84 m²

Вопрос 27. Найдите площадь заштрихованной области на рисунке, где проведена дуга окружности радиусом 7 см с центром в вершине А равностороннего треугольника АВС со стороной 14 см. (используйте π = 22/7 и √3 = 1,73)

Решение:

Given that, 

The radius of circle (r) = 7 cm.

Side of the triangle = 14 cm

Now we find the area of shaded region = Area of the circle + Area of the triangle – 2 area of the sector EAF

= πr² + √3a²/4 – 2 × πr² × 60/360

= 22/7 × (7)² + (1.73)(14)²/4 – 2 × 22/7 × (7)² × 60/360

= 283.77 – 51.33

= 187.43cm²

Hence, the area of the shaded region is 187.43cm²

Вопрос 28. В окружность вписан правильный шестиугольник. Если площадь шестиугольника 24√3 см ² , найдите площадь круга. (Используйте π = 3,14)

Решение:

Given that, 

A regular hexagon ABCDEF is inscribed in a circle

Area of hexagon = 24 √3 cm²

Let us considered r be the radius of circle

So, the side of regular hexagon = r

Area of equilateral ΔOAB = √3/3 r² cm²

But the area of triangle OAB = 1/6 x area of hexagon  

24√3/6 = 4√3 r²

So, r² = 4√3 x 4/√3 = 16

r = 4 cm

Now we find the area of circle = πr² = 3.14 x (4)2 cm²

= 3.14 x 16 cm²

= 50.24 cm²

Hence, the area of circle = 50.24 cm²

Вопрос 29. ABCDEF — правильный шестиугольник с центром O (см. рисунок). Если площадь треугольника ОАВ равна 9 см ² , найдите площадь:

(i) шестиугольник и

(ii) окружность, в которую вписан шестиугольник.

Решение:

The area of hexagon = 54 cm²

and area of circle = 65.324 cm²

Given that, 

Area of ∆OAB = 9 cm²

Let us considered ‘r’ be the radius of a circle and ‘a’ be the side of a equilateral triangle.

(i) As we know that the area of hexagon = 6 × Area of equilateral triangle  

= 6 × 9 = 54 cm²

= 54 cm²

(ii) Area of equilateral ∆OAB = √3/4 × a²

9 = √3/4 × a²

9 × 4 = √3a²

36 = √3a²

a² = 36/√3

Side² = 36/√3 cm

As we know that in regular hexagon inscribed in a circle,

its side is equal to the radius of a Circle

So, the radius of circle(r) = Side of a hexagon

r² =  36/√3 cm

Now we find the area of circle = πr²

= 22/7 × 36/√3

= 22/7 × 36/1.732

 = (22 × 36) /(7 ×1.732)

= 792/12.124

= 65.324 cm²

Hence, the area of hexagon is 54 cm² and area of circle is 65.324 cm²

Вопрос 30. Четыре равные окружности радиусом 5 см каждая касаются друг друга, как показано на рисунке. Найдите площадь, заключенную между ними. (Возьмите π = 3,14).

Решение:

Given that, 

Radius of a circle = 5 cm

Side of a square = 2 × Radius of a circle

= 2 × 5  

Side of a square = 10 cm  

Area of a square = Side²

Area of a square = 10² = 100 cm²

Area of a square = 100 cm²

Area of the quadrant of one circle = 1/4πr²

Area of the quadrant of four circles = 4 × 1/4πr² = πr²

= 3.14 × 5 × 5

= 3.14 × 25

= 78.5cm²

Area of the quadrant of four circles = 78.5cm² 

Now we find the area of the shaded portion = Area of the square – Area of the quadrant of four circles  

= 100 – 78.5

= 21.5 cm²

Hence, the area of the shaded portion is 21.5 cm².

Вопрос 31. Четыре равных окружности радиусом а касаются друг друга. Покажите, что площадь между ними равна 6a ² /7. (Возьмите π = 22/7)

Решение:

Given that,

The radius of a circle = a

Side of a square = 2 × Radius of a circle

= 2 × a

Side of a square = 2a cm

Area of a square = Side²

= (2a)²

= 4a²

Area of the quadrant of one circle = 1/4πr²

Area of the quadrant of four circles = 4 × 1/4πr² = πr²

Now we find the area of the shaded portion = Area of the square – Area of the quadrant of four circles

= 4a² – 22/7 × a²

= 4a² – 22a²/7

= (28a² -22a²)/7

= 6a²/7

Hence, proved the area between them is 6a²/7

Вопрос 32. Ребёнок делает плакат на миллиметровке, рисуя квадрат ABCD со стороной 14 см. Она рисует четыре круга с центрами A, B, C и D, в которых предлагает различные способы экономии энергии. Окружности нарисованы таким образом, что каждая окружность касается снаружи двух из трех оставшихся окружностей на данном рисунке. В заштрихованной области она пишет сообщение «Экономьте энергию». Найдите периметр и площадь заштрихованной области. (Используйте π = 22/7)

Решение:

Given that,

Side of a square = 14 cm  

Radius of a Circle(r) = Side of a square/2 = 14/2 = 7 cm

Central angle, θ = 90°

So, the perimeter of the shaded portion = 4 × length of the arc having Central angle 90°

= 4 × θ/360° × 2πr

= 4 × 90°/360° × 2 × 22/7 × 7

= 4 × 1/4 × 44

= 44 cm

As we know that area of a square = Side²

= (14)² = 196 cm²

Also, the area of a square = 196 cm²

Area of the quadrant of one circle = 1/4πr²

Area of the quadrant of four circles = 4 × 1/4πr² = πr²

= 22/7 × 7²

= 22 × 7

= 154 cm²

Now we find the area of the shaded portion = Area of the square ABCD – Area of the quadrant of four circles

= 196 – 154  

= 42 cm²

Hence, the Perimeter of the shaded portion is 44 cm and area of the shaded portion is 42 cm²

Вопрос 33. Диаметр монеты 1 см (см. рисунок). Если четыре такие монеты положить на стол так, чтобы край каждой касался края двух других, найдите площадь заштрихованной области (возьмем π = 3,1416).

Решение:

Given that, 

The diameter of a coin (circle) = 1 cm

Find: the area of the shaded region

As we know that the radius(r) of a coin (circle) = Diameter of a coin (circle)/2

r = 1/2 = 0.5 cm

Side of a square = 2 × Radius of a coin (circle)  

= 2 × 0.5  

= 1 cm

Area of the quadrant of one circle = 1/4πr²

Area of the quadrant of four circles = 4 × 1/4πr² = πr²

Now we find the area of the shaded portion = Area of the square – Area of the quadrant of four circles

A = Side² – πr²

= 1² – 3.1416 × (0.5)²

= 1 – 3.1416 × 0.25

= 1 – 0.7854

= 0.2146 cm²

Hence, the area of the shaded portion is 0.2146 cm²

Вопрос 34. Из картона прямоугольной формы размерами 14 см х 7 см вырезают два круглых куска одинакового радиуса и максимальной площади, соприкасающихся друг с другом. Найдите площадь оставшегося картонного поля. (Используйте π = 22/7)

Решение:

Given that,

Length of a rectangle(l) = 14 cm

Breadth of a rectangle(b) = 7 cm

So, the diameter of 1 circle = 7 cm

Radius of 1 circle(r) = 7/2 cm

Now we find the area of the remaining cardboard = Area of rectangular cardboard – 2 × Area of circle

= l × b – 2 (πr²)

= (14× 7) – 2 × (22/7) × (7/2)²

= 98 – (44/7)(49/4)

= 98 – 77

= 21 cm²

Hence, the area of the remaining cardboard is 21 cm².