Каковы правила арифметики комплексных чисел?

В системе счисления действительные числа можно назвать суммой рациональных и иррациональных чисел. С этими числами вообще можно производить все арифметические действия, а также их можно представить на числовой прямой. Действительные числа делятся на несколько групп, включая натуральные и целые числа, целые числа, рациональные и иррациональные числа и так далее. Настоящее число — это число, которое можно обнаружить в реальном мире. Цифры можно найти повсюду. В дополнение к другим вещам, натуральные числа используются для подсчета вещей, рациональные числа используются для обращения к дробям, иррациональные числа используются для вычисления квадратного корня чисел, а целые числа используются для измерения температуры. Пример: 2, 58, -98, 0, 0,5 и т. д.

Комплексные числа

Комплексное число — это компонент системы счисления, который включает в себя действительные числа и определенный элемент, обозначенный I, иногда известный как мнимая единица, и который подчиняется уравнению i2 = 1. Кроме того, каждое комплексное число может быть записано как a + bi, где a и b — действительные значения, а I — мнимое число, называемое «йота». Например: 12 + 52j, -134 – 13i, √9 + √7i и т. д.

Свойства комплексных чисел

• Пусть z = a + ib — комплексное число. Тогда модуль z может быть представлен |z|.
• Сопряжение «z» есть = a – ib.
• Комплексное число подчиняется закону распределения, т. е. z ₁ × (z ₂ + z ₃ ) = z ₁ × z ₂ + z ₁ × z ₃
• Комплексное число подчиняется коммутативному закону сложения и умножения, т.е.

1. z ₁ + z ₂ = z ₂ + z ₁
2. z ₁ × z ₂ знак равно z ₂ × z ₁

• Если перемножить два сопряженных комплексных числа, результатом будет действительное число.

Каковы правила арифметики комплексных чисел?

Отвечать:

Following are the arithmetic rules for complex numbers,

1. Addition: For addition of complex numbers, one can write (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d).
2. Subtraction: For subtraction of complex numbers, one can write (a + ib) – (c + id) = (a – c) + i(b – d).
3. Multiplication: For multiplication of complex numbers,we can write (a + ib). (c + id) = (ac – bd) + i(ad + bc).
4. Division: For division of complex numbers, write (a + ib) / (c + id) = (ac + bd)/ (c² + d²) + i(bc – ad) / (c² + d²)
5. Additive identity: For the additive identity, write, (a + bi) + (0 + 0i) = a + bi
6. Additive Inverse: Also for the additive inverse, (a + bi) + (-a – bi) = (0 + 0i) = 0

Примеры проблем

Вопрос 1: Упростите значение: 20i + 5i(6 – i)

Решение:

Given, 20i + 5i(6 – i)

= 20i + 30i – 5i²

= 50i – 5 × (-1)

= 50i +5

Вопрос 2: Найдите модуль -6 + 2i.

Решение:

Let z = -6 + 2i.

Then the modulus of z = |z| = 

= |z| = 

Hence the modulus of -6 + 2i is .

Вопрос 3: Вычислите (2 + 3i)(4 – 6i) ² и запишите конечный результат в виде (a + bi).

Решение:

Evaluating the second part,

(4 – 6i)² = 4² – 48i + 36i² = -20 – 48i

Further evaluating,

= (2 + 3i)(-20 – 48i)

= -40 – 96i – 60i + 144 

= 104 – 156i

Вопрос 4: Что из следующего является рациональным по своей природе?

я, я ³ , я ² , я ⁵ , я ²

Решение:

i = √{-1}

i² = -1 

i³ = i × i² = i × -1 = -i 

i⁴ = i² × i² = -1 × -1 = 1 

i⁵ = i × i⁴ = i × 1 = i 

Hence i, i⁵, i³  are not rational, and i², i⁴ is rational in nature.