Как рассчитать скалярное произведение двух векторов?
Вектор — это двумерный объект, имеющий как величину, так и направление. Вектор можно рассматривать геометрически как направленный отрезок линии со стрелкой, обозначающей направление, и длиной, равной величине вектора. Направление вектора от хвоста к голове. Если два вектора имеют одинаковую величину и направление, то они одинаковы. Это указывает на то, что если мы возьмем вектор и перенесем его в новую точку (не поворачивая его), то вектор, который мы получим в конце, будет таким же, как и тот, с которого мы начали.
Скалярный продукт двух векторов
Произведение величин двух векторов и косинуса угла между двумя векторами называется скалярным произведением векторов. Скалярное произведение двух векторов дает результирующую, лежащую в той же плоскости, что и два вектора. Скалярный продукт может быть как положительным, так и отрицательным действительным значением. Скалярное произведение двух векторов a и b изображается как:
a.b = |a||b|cosθ
Свойства скалярного произведения
- Коммутативность:
- Распространение:
- Квадратный корень скалярного произведения вектора сам по себе равен длине вектора, т. е.
. 
Примеры проблем
Вопрос 1. Два вектора величинами 6 и 7 единиц имеют между собой угол 60 градусов. Найдите их скалярное произведение.
Решение:
Given: |a| = 6 units, |b| = 7 units and θ = 60°
We know, dot product of two vectors = |a||b|cosθ
= 6 . (7) . cos(60°)
= 42(½)
⇒ a . b= 21
Вопрос 2. Два вектора величинами 10 и 5 единиц имеют между собой угол 60 градусов. Найдите их скалярное произведение.
Решение:
Given: |a| = 10 units, |b| = 5 units and θ = 60°
We know, dot product of two vectors = |a||b|cosθ
= 10 . (5) . cos(60°)
= 50(½)
⇒ a . b= 25
Вопрос 3. Два вектора величинами 100 и 50 единиц имеют между собой угол 60 градусов. Найдите их скалярное произведение.
Решение:
Given: |a| = 100 units, |b| = 50 units and θ = 60°
We know, dot product of two vectors = |a||b|cosθ
= 100 . (50) . cos(60°)
= 5000(½)
⇒ a . b= 2500
Вопрос 4. Два вектора величинами 4 и 2 единицы имеют между собой угол 30 градусов. Найдите их скалярное произведение.
Решение:
Given: |a| = 4 units, |b| = 2 units and θ = 30°
We know, dot product of two vectors = |a||b|cosθ
= 4 . (2) . cos(30°)
= 8(√3/2)
⇒ a . b= 4√3
Вопрос 5. Два вектора величинами 6 и 8 единиц имеют между собой угол 60 градусов. Найдите их скалярное произведение.
Решение:
Given: |a| = 6 units, |b| = 8 units and θ = 60°
We know, dot product of two vectors = |a||b|cosθ
= 6 . (8) . cos(60°)
= 48(1/2)
⇒ a . b= 24
Вопрос 5. Два вектора величинами 16 и 8 единиц имеют между собой угол 60 градусов. Найдите их скалярное произведение.
Решение:
Given: |a| = 16 units, |b| = 8 units and θ = 60°
We know, dot product of two vectors = |a||b|cosθ
= 16 . (8) . cos(60°)
= 16. (8) . (1/2)
⇒ a . b= 64
Вопрос 6. Два вектора величинами 20 и 5 единиц имеют между собой угол 60 градусов. Найдите их скалярное произведение.
Решение:
Given: |a| = 20 units, |b| = 5 units and θ = 60°
We know, dot product of two vectors = |a||b|cosθ
= 20 . (5) . cos(60°)
= 20 . (5) . (1/2)
⇒ a . b= 50
Вопрос 7. Два вектора величинами 30 и 5 единиц имеют между собой угол 60 градусов. Найдите их скалярное произведение.
Решение:
Given: |a| = 30 units, |b| = 5 units and θ = 60°
We know, dot product of two vectors = |a||b|cosθ
= 30 . (5) . cos(60°)
= 15. (5) .
⇒ a . b= 75