Как найти площадь эллипса?

Эллипс — это двумерная фигура. Он является составной частью конического сечения. Это кривая на плоскости, в которой сумма расстояний до двух ее фокусных точек или фокусов всегда является постоянной величиной от указанной точки. Эллипс из семейства кругов с двумя фокальными точками. Значение эксцентриситета эллипса всегда меньше единицы, и общее уравнение эллипса определяется выражением

 (x²/a²) + (y²/b²) = 1

Где a представляет длину большой полуоси, а b представляет длину малой полуоси.

Части эллипса

Некоторые из важных частей эллипса:

• Фокус: эллипс имеет два фокуса или фокальные точки с координатами F1 (q, 0) и F2 (-q, 0), а расстояние между ними равно 2q.
• Центр: это середина линии, соединяющей два фокуса.
• Большая ось: это самый длинный диаметр эллипса. Или мы можем сказать, что отрезок, соединяющий две самые дальние точки эллипса, проходит через центр эллипса.
• Малая ось: это самый короткий диаметр эллипса. Или мы можем сказать, что это отрезок, который соединяет две ближайшие точки на эллипсе и проходит через центр эллипса.
• Широкая прямая кишка: это линия, проведенная перпендикулярно поперечной оси и проходящая через очаги.

Площадь эллипса

Эллипс создается путем соединения всех точек, находящихся на постоянном расстоянии от двух фиксированных точек на плоскости. Здесь две фиксированные точки известны как фокусы. Таким образом, площадь эллипса известна как общая площадь, присутствующая в нем. Он представлен в см ² , в ² , м ² и т. д. Площадь эллипса можно рассчитать, используя длину большой полуоси и длину малой полуоси. Площадь эллипса определяется побочным произведением длины большой полуоси и малой оси с π (22/7). Формула дается

Area of ellipse A = π × m × n

Где m — длина большой полуоси, а n — длина малой полуоси.

Доказательство формулы площади эллипса

Let us consider A be an ellipse, 2m is the major axis and 2n be the minor axis. It is aligned in the cartesian plane in the reduced form so the equation of the ellipse is

x²/m² + y²/n² = 1

So, 

y = ±n/m√m² – x² ……(1)

Now assume a circle of radius m and whose center lies at the origin. So the equation of the circle is 

x² + y² = m²

So, y = ±√m² – x²  ……(2)

On comparing equations (1) and (2) we conclude that the ellipse is n/m times the circle.

So we can write the area of the two shapes as:

Area of ellipse = n/m x Area of the circle

So, 

Area of ellipse = n/m x (πm²) = πnm

Hence proved

Шаги, чтобы найти площадь эллипса

Step 1: Find the length of the semi-major axis or the distance from the farthest point from the center that is m.

Step 2: Find the length of the semi-minor axis or the distance from the nearest point from the center that is n.

Step 3: Now put all these values in the area formula to calculate the area.

Step 4: Now apply the units of area. 

Пример: Пол комнаты построен в форме эллипса, длина большой оси которого равна 15 см, а длина малой оси 11 см. Теперь найдите площадь эллипса.

Решение:

Given that 

Major axis length(m) = 15 cm

minor axis length(n) = 11 cm

Area of ellipse (A) = π x m x n

= 22/7 x 15 x 11 

= 22/7 x 165 

= 518.57 cm²

Нахождение площади эллипса с помощью интегрирования

We can also find the area of an ellipse using integration. As we know the general equation of the ellipse is 

x²/m² + y²/n² = 1

y = ±n/m√m² – x² ……(1)

As we know that the ellipse is divided into four quadrants so we find the area or one quadrant then multiple with 4 to get the area of the full ellipse

So, A = 4

= 4

= 4n/m

Now put x = m sint, dx = m cost.dt and t = 0 and t = π/2 in the above equation

A = 4n/m

= 4n

= 4mn

= 4mn

= 4mn

= 4mn(π/4)

= πmn

Примеры вопросов

Вопрос 1: Какова площадь эллипса, если длина большой полуоси и малой полуоси равны 6см и 3см соответственно.

Решение:

Given

Length of semi major axis (a) = 6cm

Length of semi minor axis (b) = 3cm

Area of ellipse= π x a x b

                      = (22/7) x 6 x 3

                      = 56.57 cm²

So area of given ellipse is 56.57 cm².

Вопрос 2: Какова площадь эллипса, если длина большой полуоси и малой полуоси 10 см и 4,5 см соответственно.

Решение:

Given

Length of semi major axis (a) = 10cm

Length of semi minor axis (b) = 4.5cm

Area of ellipse= π x a x b

                      = (22/7) x 10 x 4.5

                      = 141.42 cm²

So area of given ellipse is 141.42 cm².

Вопрос 3: Чему равна площадь эллипса, если длина большой и малой осей равна 10 см и 5 см соответственно.

Решение:

Given

Length of major axis = 10cm

Length of minor axis = 5cm

So we need to find semi major axis and semi minor axis length. 

Length of semi major axis (a) = Length of major axis/2

                                               = 10/2 = 5cm

Length of semi minor axis (b) = Length of minor axis/2

                                               = 5/2 = 2.5cm

Area of ellipse = π x a x b

                        = (22/7) x 5 x 2.5

                        = 39.25 cm²

So area of given ellipse is 39.25 cm².

Вопрос 4: Найдите площадь эллипса, если длина его большой и малой осей равна 12 см и 4 см соответственно.

Решение:

Given

Length of major axis = 12cm

Length of minor axis = 4cm

So we need to find semi major axis and semi minor axis length.

Length of semi major axis (a) = Length of major axis/2

                                               = 12/2 = 6cm

Length of semi minor axis (b) = Length of minor axis/2

                                                = 4/2 = 2cm

Area of ellipse = π x a x b

                        = (22/7) x 6 x 2

                        = 37.71 cm²

So area of given ellipse is 37.71 cm².

Вопрос 5: Найдите площадь эллипса, если длина большой оси и малой полуоси равны 8 см и 2,5 см соответственно.

Решение:

Given

Length of major axis = 8cm

Length of semi minor axis (b) = 2.5cm

So we need to find length of semi major axis 

Length of semi major axis (a) = Length of major axis/2

                                               = 8/2 = 4cm

Area of ellipse = π x a x b

                        = (22/7) x 4 x 2.5

                        = 31.43 cm²

So area of given ellipse is 31.43 cm².