Как использовать теорему Де Муавра для упрощения z4 + 8√3 – 8i = 0?

Комплексные числа — это числа в форме a + ib, такие, что a и b — действительные числа, а i (йота) — мнимая составляющая и представляет √(-1), обычно изображаемые в прямоугольной или стандартной форме. Например, 10 + 5i — это комплексное число, где 10 — действительная часть, а 5i — мнимая часть.

Полярная форма комплексного числа

Здесь полярные координаты реальной и мнимой частей записываются для изображения комплексного числа. Угол, под которым числовая линия наклонена к действительной оси, т. е. к оси x, обозначается θ. Длина, представленная линией, называется ее модулем и обозначается буквой r. На рисунке ниже a и b показаны как действительная и мнимая составляющие соответственно, а OP = r — это модуль.

Ясно, что для вычисления длины r можно применить теорему Пифагора. Аргументы можно вычислять с помощью тригонометрических соотношений. Таким образом, для комплексного числа вида z = p + iq его полярная форма записывается следующим образом:

r = Modulus[cos(argument) + i sin(argument)]

Or, z = r[cosθ + isinθ]

Here, r =  and θ = tan^-1{q/p}.

Как использовать теорему Де Муавра для упрощения z ⁴ + 8√3 – 8i = 0?

Решение:

DeMoivre’s Theorem can be employed to simplify complex numbers of higher order. It can be used for expansion of complex numbers as per their exponent as well as to calculate the roots of complex numbers. 

If a complex number z is of the form zⁿ = kⁿ(cosθ + isinθ), then its roots are:

Where 0 ≤ m ≤ n – 1 and n is the root of the given complex number.

Given: z⁴ + 8√3 – 8i = 0

⇒ z⁴ = 8(–√3 + 1)

⇒ 

⇒ 

Comparing this with zⁿ = kⁿ(cosθ + isinθ), we have k =2, n = 4 and θ = 5π/ 6.

Find the 4 roots by substituting the values of m as 0, 1, 2 and 3 respectively.

• For m = 0, 
• For m = 1,                      
• For m = 2, 
• For m = 3, 

Thus, the four roots of z are 1.58 + 1.21i, −1.21 + 1.58i, −1.58 −1.21i and 1.21 − 1.58i.

Похожие проблемы

Вопрос 1: Если z ³ + 2 + 2√3i = 0; применить теорему Де Муавра, чтобы решить для z.

Решение:

Given: z³ + 2 + 2√3i = 0

r =  = √(16) = 4, θ = 4π/ 3.

Find the 3 roots by substituting the values of m as 0, 1 and 2 respectively.

• For m = 0, z = 
• For m = 1, z = 
• For m = 2, z = 

Thus, the roots are 0.27 + 1.56i, −1.49 − 0.54i and 1.21 −1.02i.

Вопрос 2: Оцените z ² − 2i = 0, используя теорему Де Муавра.

Решение:

Given: z² − 2i = 0.

⇒ z² = 2i

Clearly, n = 2 and θ =  90°.

Find the 2 roots by substituting the values of m as 0 and 1.

For m = 0,  z = 1+i

For m = 1, z = 

Thus, the roots are 1 + i and  −1 − i.

Вопрос 3: Оцените x ⁵ − 32 = 0.

Решение:

Given: x⁵ − 32 = 0

⇒ x⁵ = 32 + 0i

Modulus = = 32.

Argument = θ = tan^-1(0/ 32) = 0.

Find the 5 roots by substituting the values of m as 0, 1, 2, 3 and 4.

For m = 0,  

For m = 1,  z = 

For m = 2,  z = 

For m = 3,  z = 

For m = 4,  z = 

Thus, the roots are 2, 0.62 + 1.9i, −1.62 + 1.18i, −1.62 − 1.18i and 0.62 − 1.9i.