Как использовать теорему Де Муавра для упрощения [2(cos π/3 + i sin π/3)]5?

Комплексные числа — это числа в форме a + ib, такие, что a и b — действительные числа, а i (йота) — мнимая составляющая и представляет √(-1), обычно изображаемые в прямоугольной или стандартной форме. Например, 10 + 5i — это комплексное число, где 10 — действительная часть, а 5i — мнимая часть.

Полярная форма комплексного числа

Здесь полярные координаты реальной и мнимой частей записываются для изображения комплексного числа. Угол, под которым числовая линия наклонена к действительной оси, т. е. к оси x, обозначается θ. Длина, представленная линией, называется ее модулем и обозначается буквой r. На рисунке ниже a и b показаны как действительная и мнимая составляющие соответственно, а OP = r — это модуль.

Ясно, что для вычисления длины r можно применить теорему Пифагора. Аргументы можно вычислять с помощью тригонометрических соотношений. Таким образом, для комплексного числа вида z = p + iq его полярная форма записывается следующим образом:

r = Modulus[cos(argument) + isin(argument)]

Or, z = r[cosθ + isinθ]

Here, r =  and θ = tan^-1{q/p}.

Теорема Де Муавра

По сути, полярная форма — это просто еще один способ представления данного комплексного числа в случае, если его индекс равен 1. Если показатель степени данного комплексного числа превышает 1, его необходимо оценить/расширить, и именно здесь вступает в действие теорема Де Муавра. картина. Чтобы разложить комплексное число по заданному показателю, его сначала необходимо преобразовать в его полярную форму, в которой в качестве составляющих используются его модуль и аргумент. Затем применяется теорема Де Муавра, которая утверждает следующее:

Формула

For all real values of say, a number x,

(cos x + isinx)ⁿ = cos(nx) + isin(nx),

Where n can assume any rational value.

Как использовать теорему Де Муавра для упрощения [2(cos π/3 + i sin π/3)] ⁵ ?

Решение:

As per DeMoivre’s theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + isin(nθ).

 

= 

= 

= 32(1 – i√3)/2

= 16 (1 – i√3)

Hence, [2(cos pi/3 + i sin pi/3)]⁵ = 16 – 16√3i.

Похожие проблемы

Вопрос 1: Разверните [√2(cos pi/4+i sin pi/4] ¹⁰ .

Решение:

As per DeMoivre’s theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

= 32(0 + i)

= 32i

Hence, [√2(cos pi/4 + i sin pi/4)]¹⁰ = 32i.

Вопрос 2: Разверните [√2(cos π/4 +i sin π/4)] ⁵ .

Решение:

As per DeMoivre’s theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

= -4 – 4i

Hence, [√2(cos π/4 +i sin π/4)]⁵ = -4 – 4i.

Вопрос 3. Развернуть .

Решение:

As per DeMoivre’s theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

= 512 (-i)

= -512i

Hence,  = -512i.

Вопрос 4. Развернуть

Решение:

As per DeMoivre’s theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

= 512i

Hence,  = 512i.

Вопрос 5. Развернуть .

Решение:

As per DeMoivre’s theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

.