Как использовать теорему де Муавра для упрощения (-2 + 2i)8?

Комплексные числа представляют собой комбинацию действительных и мнимых значений. Они выражаются в виде x + iy, где x и y — действительные числа, а i — мнимая часть, также называемая йотой. Часто обозначается буквой z. Значение «x» называется реальной частью, обозначаемой Re(z), а значение «y» называется мнимой частью, обозначаемой Im(z). Комплексные числа наносятся на плоскость, называемую плоскостью Аргана или комплексной плоскостью, где ось x — это действительная ось, а ось y — мнимая ось.

Действительные и мнимые числа

Настоящие числа — это те, квадрат которых дает положительный результат. Они могут быть положительными, отрицательными и т. д. Они представлены Re(). Мнимые числа — это те числа, квадрат которых дает отрицательное значение. Они обозначаются Im(). Мнимые числа имеют вид «би», где i — йота, а b — действительное число.

Пример: z = 1 + 2i. Здесь, в приведенном выше примере, он имеет форму a + ib, где a = 1 и b = 2, которые являются действительными числами.

• Re(z) = 1
• Im (г) = 2

Подробнее о Йоте

Мнимое число обозначается йотой «i». Он используется для нахождения квадратного корня из отрицательных чисел. Значение i = √(-1). Если выполняется квадратная операция i,

я ² = я × я = -1

я ⁴ = 1

Операции над комплексными числами

В комплексных числах может выполнять сложение, вычитание, умножение, деление и спряжение. Операции выполняются отдельно для действительных значений и мнимых значений.

• Сложение : сложение комплексных чисел выполняется путем сложения действительных и мнимых частей по отдельности. Предположим, что есть два комплексных числа x + ib и c + id. Поэтому мы получаем

х + а + с + id = (х + с) + я (b + d)

• Вычитание : Вычитание комплексных чисел выполняется путем вычитания действительной и мнимой частей по отдельности. Предположим, есть два комплексных числа a + ib и c + id.

a + ib – (c + id ) = (a – c) + i(b – d)

• Умножение : когда два комплексных числа, например, z ₁ и z ₂ умножаются, действительная часть z ₁ умножается как на действительную, так и на мнимую части z ₂ , и аналогичным образом это делается и для мнимой части. Предположим, есть два комплексных числа a + ib и c + id.

(a + ib) × (c + id) = (ac – bd) + i(ad + bc)

• Conjugate : Возьмем комплексное число z. Сопряжение находится заменой знака мнимой части комплексного числа, что означает замену + на - и - на +. Предположим, одно комплексное число a + ib.

сопряженный (а + ib) = (а – ib)

• Деление : Когда выполняется деление двух комплексных чисел z ₁ и z ₂ , мы умножаем знаменатель z ₂ на его сопряженное и выполняем деление. Предположим, есть два комплексных числа a + ib и c + id.

(a + ib)/(c + id) = {(a + ib) (c – id)}/(c² + d²)

Модуль и аргумент комплексного числа

Модуль комплексного числа представлен |z| или «r», которое представляет собой расстояние точки z от начала координат на плоскости Аргана или комплексной плоскости. Числовое значение z = x + yi определяется выражением . Аргумент z, часто представляемый arg(z), представляет собой угол, который линия, соединяющая z и начало координат, образует с положительным направлением действительной оси.

Arg(z) = Arg(x + iy) = tan ^-1 (y/x)

Например, чтобы найти модуль и аргумент 1 + 2i

Пусть z = 1 + 2i

Модуль z = = √5

Здесь у = 2, х = 1

Arg(z) = тангенс ^-1 (2/1)

Свойство аргумента Arg(zn) = ⁿ Arg(z)

Выражение комплексного числа в полярной форме

Комплексные числа могут быть выражены в полярной форме и, следовательно, они могут быть нанесены на комплексную плоскость с осью x в качестве действительной оси и осью y в качестве мнимой оси.

Пусть x + iy будет комплексным числом. Поэтому x = r cosθ, y = rsinθ, r =

z = r (cosθ + isinθ)

Теорема де Муавра

Эта теорема является одной из самых полезных теорем, поскольку она помогает установить связь между тригонометрией и комплексными числами. Он помогает вычислять значение комплексных чисел в полярной форме до n раз. Теорема утверждает, что для любого действительного числа x

(cosx + isinx) ⁿ = cos(nx) + isin(nx)

Где n — целое положительное число, а i — мнимая часть.

Как использовать теорему де Муавра для упрощения (-2 + 2i) ⁸ ?

Решение:

Let z = -2 + 2i

Arg(z) = tan^-1 (2/-2) = 3π/4

Absolute value =  = 2√2

Applying De Moivre’s Theorem,

z⁸ = [2√2{cos(3π/4) + isin(3π/4)}]⁸

= (2√2)⁸ [cos(24π/4) + isin(24π/4)]

= 4096(cos 6π + i sin 6π)

= 4096 (1 + 0i)

= 4096 (1)

= 4096

Похожие проблемы

Вопрос 1: Напишите формулу для zn, где z ⁼ r(cos x + isin x)

Решение:

zⁿ = [r(cos x + isin x)]ⁿ

Using De Moivre’s formula,

zⁿ = rⁿ[cos nx + isin nx] 

Вопрос 2: Пусть z = 2[cos (π/6) + isin (π/6)] найти z ³

Решение:

n = 3

Using De Moivre’s formula,

z³ = (2[ cos π/6 + isin π/6])³

= 2³[ cos 3π/6 + isin 3π/6]

= 8 [cos π/2 + isin π/2]

= 8(0 + i) 

= 8i

Вопрос 3: Найдите значение (1 + i) ² по формуле Муавра.

Решение:

Let z = 1 + i

Arg(z) = tan^-1 (1) = π/4

|z| =  = √2

So, z = √2(cos π/4 + i sin π/4) 

z² = (√2(cos π/4 + i sin π/4))²

= (√2)² [cos 2π/4 + i sin π/4]

= 2 [cos π/2 + i sin π/2]

= 2[0 + i]

= 2i

Вопрос 4: Найдите значение (√3 + i) ⁴ .

Решение:

|z| =  = 2

Arg(z) = π/6

z⁴ = [2( cos π/6 + i sin π/6)]⁴

Using De Moivre’s formula,

z⁴ = 16(cos 4π/6 + i sin 4π/6)

= 16(cos 2π/3 + i sin 2π/3)

= 16(cos (π – π/3) + i sin (π – π/3))

= 16(-cos (π/3) + i sin (π/3))

= 16(-1/2 + i√3/2) 

= 8(-1 + i√3) 

Вопрос 5: Напишите формулу для z ¹⁰⁰⁰ , где z = r(cos θ + isin θ)

Решение:

z¹⁰⁰⁰ = r¹⁰⁰⁰(cos θ + isin θ)¹⁰⁰⁰

= r¹⁰⁰⁰( cos 1000 θ + isin × 1000 × θ)