Как использовать теорему Де Муавра для упрощения (1 + √3i)6?

Комплексные числа — это числа в форме a + ib, такие, что a и b — действительные числа, а i (йота) — мнимая составляющая и представляет √(-1), обычно изображаемые в прямоугольной или стандартной форме. Например, 10 + 5i — это комплексное число, где 10 — действительная часть, а 5i — мнимая часть. Они могут быть чисто реальными или чисто мнимыми в зависимости от значений a и b. Если a = 0 в a + ib, то ib — чисто мнимое число, а если b = 0, то мы имеем a, чисто вещественное число.

Модуль и полярная форма комплексных чисел

Неотрицательный квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой частей комплексного числа называется его модулем. Модуль изображается как mod(z) или |z| или |х + iy| и определяется для комплексного числа z = a + ib как,

мод(г) или |г| знак равно

Здесь полярные координаты реальной и мнимой частей записываются для изображения комплексного числа. Угол, под которым числовая линия наклонена к действительной оси, т. е. к оси x, обозначается θ. Длина, представленная линией, называется ее модулем и обозначается буквой r. На рисунке ниже a и b показаны как действительная и мнимая составляющие соответственно, а OP = r — это модуль.

Для комплексного числа вида z = p + iq его полярная форма записывается следующим образом:

r = модуль [cos (аргумент) + isin (аргумент)]

Или z = r[cosθ + isinθ]

Здесь г = и θ = тангенс ^-1 {q/p}.

Как использовать теорему Де Муавра для упрощения (1 + √3i) ⁶ ?

Решение:

In order to expand a complex number as per its given exponent, it first needs to be converted into its polar form, which uses its modulus and argument as its constituents. Then, DeMoivre’s theorem is applied, which states the following,

De Moivre’s Formula: For all real values of say, a number x,

(cos x + isinx)ⁿ = cos(nx) + isin(nx), where n is any integer.

Given number: (1 + √3i)⁶

Modulus of (1 + √3i)⁶ =  = 2

Argument = tan^-1(√3/1) = tan^-1(√3) = π/3

⇒ Polar form =  

Now, (1 + √3i)⁶ =  

As per DeMoivre’s theorem, (cos x + i sinx)ⁿ = cos(nx) + i sin(nx). 

⇒  = 

= 64 (cos 2π + i sin 2π)

= 64(1 + 0)

= 64

Hence, (1 + √3i)⁶ = 64

Похожие проблемы

Вопрос 1: Раскройте: (1 + i) ⁵ .

Решение:

Here, r =  = , θ = π/4

The polar form of (1 + i) = 

According to De Moivre’s Theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

Thus, (1 + i)⁵ = 

= 

= -4 – 4i

Hence, (1 + i)⁵ = -4 – 4i.

Вопрос 2: Расширьте: (2 + 2i) ⁶ .

Решение:

Here, r = , θ = π/4

The polar form of  (2 + 2i) = 

According to De Moivre’s Theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

Thus, (2 + 2i)⁶ = 

= 

= 512 (-i)

Hence, (2 + 2i)⁶ = −512i.

Вопрос 3: Расширьте: (1 + i) ¹⁸ .

Решение:

Here, r = , θ = π/4

The polar form of (1+i) = 

According to De Moivre’s Theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

Thus, (1 + i)¹⁸ = 

= 

= 512i

Hence, (1 + i)¹⁸ = 512i.

Вопрос 4: Расширьте: (-√3 + 3i) ³¹ .

Решение:

Here, r = , θ = π/4

The polar form of  (-√3 + 3i) = 

According to De Moivre’s Theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

Thus, (-√3 + 3i)³¹= 

Hence, (-√3 + 3i)³¹ = 

Вопрос 5: Раскройте: (1 – i) ¹⁰ .

Решение:

r = , θ = π/4

The polar form of  (1 – i) = 

According to De Moivre’s Theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

Thus, (1 – i)¹⁰ = 

= 32 [0 – i(1)]

= 32 (-i)

Hence, (1 – i)¹⁰ = 0 – 32i.