Как использовать теорему Де Муавра, чтобы найти значение i√3?

Опубликовано: 30 Сентября, 2022

Комплексным числом можно назвать сумму как действительных, так и мнимых чисел, записанных или представленных обычно в виде z = a + ib, где i (йота) — мнимая составляющая и представляет √(-1). Комплексные числа обычно изображаются в прямоугольной или стандартной форме как + ib. Например, 69 + 25i — это комплексное число, где 100 — действительная часть, а 25i — мнимая часть. Комплексные числа могут быть чисто действительными или чисто мнимыми в зависимости от значений каждого из двух компонентов.

Полярная форма комплексного числа

Для графического представления комплексного числа сюда записывают полярные координаты действительной и мнимой составляющих. θ представляет собой угол, под которым числовая линия наклонена к действительной оси, то есть к оси x. Длина, указанная линией, известна как ее модуль и обозначается буквой r в алфавите. Действительные и мнимые компоненты представлены как a и b соответственно, а модуль представлен как OP = r на диаграмме ниже.

Ясно, что на диаграмме мы получаем два прямоугольных треугольника с перпендикулярами вдоль каждой оси. Применение теоремы Пифагора даст длину OP следующим образом:

r = Modulus[cos(argument) + i sin(argument)]
Or, z = r[cosθ + isinθ]
Here, and θ = tan^-1(q/p)

Теорема Де Муавра

Полярная форма - это, по сути, еще один способ представления комплексного целого числа, когда его индекс равен 1. Теорема Де Муавра вступает в игру, когда показатель степени данного комплексного числа превышает единицу и его необходимо оценить или расширить. Чтобы разложить комплексное число в соответствии с указанным показателем, его необходимо сначала преобразовать в полярную форму, в состав которой входят модуль и аргумент. После этого применяется теорема Де Муавра, которая гласит:

Формула

For all real values of say, a number x,
(cos x + i sinx)ⁿ = cos(nx) + i sin(nx),
Where n can assume any rational value.