График линейных уравнений с двумя переменными

Линейные уравнения - это уравнения первого порядка, т.е. уравнения степени 1. Уравнения, которые используются для определения любой прямой линии, являются линейными, они представлены как,

х + к = 0;

Эти уравнения имеют единственное решение и могут быть очень легко представлены на числовых прямых. Давайте посмотрим на линейные уравнения с двумя переменными, как они представлены, их графики и их решения.

Линейное уравнение с двумя переменными представляется как,

топор + бай = с,

Где a, b и c — действительные числа.

Например: 3x + 5y = 6 является примером линейного уравнения с двумя переменными.

Решение линейного уравнения

Решениями линейных уравнений являются точки (x, y), удовлетворяющие заданному уравнению. Давайте посмотрим на это на примере

х + у = 4

Изучим решения этого уравнения.

x = 2 и y = 2 является решением этого уравнения, так что x = 0 и y = 4 и (4, 0). У нас есть три точки, которые удовлетворяют этому уравнению. Но там больше трех пунктов. Для каждого значения x или значения y мы можем получить значение другой переменной. Это показывает, что существует бесконечно много возможных решений этого уравнения.

Итак, линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечно много решений. Если мы нанесем эти решения на график, как они будут выглядеть? Посмотрим на графики линейных уравнений.

Уравнения, представленные во введении, то есть линейные уравнения с одной переменной, также могут быть представлены в этой форме. Давайте посмотрим на это на примере

Вопрос 1: Представьте следующее линейное уравнение с одной переменной в виде стандартного линейного уравнения с двумя переменными.

х + 6 = 0

Отвечать:

We need to bring it in the standard two variable linear equation form, 

ax + by + c = 0 

x + 6 = 0 

Can be re-written as, 

1.x + 0.y + 6 = 0. 

Теперь нам нужно посмотреть, как сформулировать эти уравнения в реальной жизни.

Вопрос 2: Эрик и Кайл идут в магазин сладостей на Хэллоуин, чтобы купить конфеты для «кошелек или угощения» на Хэллоуин. Эрик покупает 6 леденцов колы, а Кайл покупает 10 кисло-сладкоежек. Продавец просит 150 рупий за все конфеты. Составьте уравнение для этой ситуации, чтобы узнать стоимость колы и кисло-сладкой конфеты.

Отвечать:

Let’s say cost of Cola candy is “x” and cost of “Sour-Sweet” candy is “y”. Notice that problem has two variables, so we will have to formulate linear equation in two variables to represent this equation. 

Cost of 6 cola candies = 6x, 

Cost of 10 Sour-Sweet candies = 10y 

Total Cost = Cost of 6 cola candies. + Cost of 10 Sour-sweet Candies. 

150 = 6x + 10y 

Thus, this is our required equation. 

Графики линейного уравнения

Графики для линейных уравнений рисуются для получения прямых линий, они строятся с помощью координат обеих осей, получение таких пар на графике и попытка создать из них закономерность дает нам прямые линии. В данном линейном уравнении подставьте разные значения x, чтобы получить разные значения y, скажем, получаются пары (x ₁ , y ₁ ), (x ₂ , y ₂ ), (x ₃ , y ₃ )… и так далее. Теперь нанесите эти точки на график, чтобы получить прямую линию.

Нанесение точек

Ниже приведены шаги для нанесения точек на график:

Шаг 1: Выберите разные значения x

Шаг 2: Подставьте эти значения в данное уравнение, чтобы найти значения y.

Шаг 3: Нанесите полученные соответствующие пары на график

Шаг 4: Получение таких пар (не менее двух или более двух) поможет нам определить, как проходит прямая линия.

Поиск пересечений X и Y

Ниже приведены шаги для поиска точек пересечения x и y:

Шаг 1: Чтобы найти точку пересечения по оси y, установите x = 0 и найдите значение y.

Шаг 2: Чтобы найти точку пересечения x, установите y=0 и найдите значение x.

Шаг 3: Нанесите обе точки на график и соедините их прямой линией.

Примеры проблем

Вопрос 1: Постройте график уравнения,

х + у = 4

Решение:

Let’s list out the solutions of this equation. 

x	0	1	2	3	4	5	…
y	4	3	2	1	0	-1	…

If we keep on listing these solutions, we will see that they form a straight line. Let’s plot that line of the graph. 

Вопрос 2: Постройте график уравнения,

2х - 4у = 12

Решение:

Let’s list out the solutions to this equation, 

x	0	1	2	3	4
y	-3	-2.5	-2	-1.5	-1

We can join any of two these points to get the line. 

Давайте посмотрим на несколько примеров для линейных уравнений, которые параллельны осям x и y.

Вопрос 3: Постройте график следующего уравнения.

у = 6

Решение:

The equation when written in the form of linear equation in two variables. 

0.x + 1.y = 6

We can see that it doesn’t matter what value of “x” we put in, it won’t affect the equation. So, to satisfy the equation value of “y” must be 6. Thus, our solution must have y = 6 and any other value of “x” will work. 

So, the graph will look like this, 

Notice that this graph is parallel to x -axis. 

Вопрос 4: Постройте график следующего уравнения.

х = 7

Решение:

Similar to above question, this equation can be represented as. 

1.x + 0.y = 7

Here, value of “y” doesn’t matter and the value of “x” must be 7. 

So, plotting this on the graph. 

Thus, this is graph for x = 4. 

Note: In general for any equation x = k, the graph will always be parallel to the y-axis. Similarly, the equation for y = k, the graph will always be parallel to the x-axis.