Гипербола

Конические сечения используются в быту, от гитары, эстакады до футбольного мяча. Все имеет кривую, принадлежащую кривым конических сечений. Различают четыре типа конических сечений — окружности, параболы, эллипсы и гиперболы. Гипербола и эллипс — похожие виды конических сечений. Гипербола определяется как кривая, состоящая из всех наборов точек, разность расстояний которых от двух фиксированных точек на плоскости постоянна. Некоторыми примерами гиперболы являются границы гитары. Рассмотрим кривую подробнее.

Что такое Гипербола?

Гипербола определяется как множество точек на плоскости, разность расстояний которых от двух фиксированных точек на плоскости постоянна. На рисунке ниже показана основная форма гиперболы с ее различными частями. У нас есть четыре точки P ₁ , P ₂ , P ₃ и P ₄ . Измеряем разницу между расстояниями каждой точки от F ₁ и F ₂ .

Разница в расстоянии, о которой мы говорим при определении гиперболы, - это разница между расстоянием от более дальней точки и более близкой точки. Эти две точки называются фокусами гиперболы. Середина соединяющего их отрезка называется центром гиперболы. На данном рисунке линия, проходящая через два фокуса, называется поперечной осью гиперболы, а линия, проведенная перпендикулярно оси пересечения, называется сопряженной осью. Вершины параболы определяются как точки, в которых кривая пересекает ось траверса.

Допустим, расстояние между двумя фокусами равно «2с», расстояние между двумя вершинами можно назвать «2а». Определим б,

b = 

The length of the conjugate axis is 2b. 

Теперь посчитаем разницу между P ₁ F ₁ и P ₁ F ₂ . Рассмотрим приведенный выше рисунок, мы взяли точки A и B в вершинах. Мы знаем,

BF₁ – BF₂ = AF₂ – AF₁

BA + AF₁ – BF₂ = AB + BF₂ – AF₁

AF₁ = BF₂

So that, BF₁ – BF₂ = BA + AF₁ – BF₂ = BA = 2a

Эксцентриситет

Эксцентриситет определяется как отношение «с» и «а». Мы знаем, что c ≥ a, поэтому его значение лежит между и 0 и 1.

Distance between foci in terms of eccentricity is given by 2ae. 

Стандартные уравнения гиперболы

Возможны два типа стандартных уравнений гиперболы. В стандартных уравнениях обычно предполагается, что центр гиперболы находится в начале координат, а фокусы находятся на осях x и y соответственно. На рисунке ниже показаны две возможности в стандартном уравнении гиперболы.

Выведем уравнение для гиперболы,

Уравнение гиперболы

На приведенном ниже рисунке представлена гипербола, центр которой находится в начале координат, а большая ось - это ось x. F1 и F2 представляют фокусы гиперболы, скажем, мы берем точку A(x, y) в любом месте гиперболы.

Мы знаем, что разность расстояний точки А от двух фокусов равна «2а».

ИЗ ₁ – ИЗ ₂ = 2а

Давайте воспользуемся формулой расстояний Евклида, чтобы подставить значения расстояний.

= 

Squaring both sides, 

= 

= 

On Simplifying, 

= 

Squaring again, 

= 

= 

Thus, this is the standard equation for hyperbola. 

Правая сторона

Это отрезок прямой, перпендикулярный оси хода и проходящий через фокусы. Концы широкой прямой кишки лежат на пересечении гиперболы и этой линии.

Длина широкой прямой кишки в гиперболе определяется как

Примеры проблем

Вопрос 1: Найдите уравнение гиперболы с фокусами в точках (2,0) и (-2,0) и вершинами в точках (-1,0) и (1,0).

Решение:

Since, the foci lie on the x-axis. We know that the major axis of the hyperbola is x-axis only. So, it is of the form, 

Since the vertices lie at (-1,0) and (1,0), a = 1. 

c = 

We know that, 

c² = a² + b²

⇒ 2² = 1 + b²

⇒ 3 = b²

⇒ b = √3 

So, the equation of the hyperbola becomes, 

Вопрос 2: Найдите уравнение гиперболы с фокусами в точках (4,0) и (-4,0) и вершинами в точках (-1,0) и (1,0).

Решение:

Since, the foci lie on the x-axis. We know that the major axis of the hyperbola is x-axis only. So, it is of the form, 

Since the vertices lie at (-1,0) and (1,0), a = 1. 

c = 

We know that, 

c² = a² + b²

⇒ 4² = 1 + b²

⇒ 15 = b²

⇒ b = √15 

So, the equation of the hyperbola becomes, 

Вопрос 3: Найдите уравнение гиперболы с фокусами в точках (12,0) и (-12,0) и длиной прямой кишки 36.

Решение:

Since, the foci lie on the x-axis. We know that the major axis of the hyperbola is x-axis only. So, it is of the form, 

 c = 

We know that the length of latus rectum is 36. 

We know, 

c² = a² + b²

⇒ 12² = a² + 18a 

⇒0 = a² + 18a – 144

a = -24 and 6. 

So, value of a = 6 

From the above equations, 

b² = 18 × 6 

b = 6√3

So, the equation of the hyperbola becomes, 

Вопрос 4: Найдите уравнение гиперболы с фокусами в точках (6,0) и (-6,0) и длиной прямой кишки 18.

Решение:

Since, the foci lie on the x-axis. We know that the major axis of the hyperbola is x-axis only. So, it is of the form, 

 c = 6

We know that the length of latus rectum is 18. 

We know, 

c² = a² + b²

⇒ 6² = a² + 9a 

⇒0 = a² + 9a – 36

a = – 12 and 3. 

So, value of a = 3 

From the above equations, 

b² = 3 × 6 

b = 3√2

So, the equation of the hyperbola becomes, 

Вопрос 5: Найдите центр, фокусы и длину широкой прямой кишки для данной гиперболы.

Решение:

We know that this is the standard form the equation for hyperbola, so the center lies at the origin. In this hyperbola, 

a = 6 and b = 3. 

Length of the latus rectum is given by, 

c² = a² + b²

c² = 6² + 3²

c² = 36+ 9 

c = √45

The coordinates of foci are (c,0) and (-c,0) 

Thus, foci are (√45,0) and (-√45,0).