Формулы суммы и разности тригонометрии

Опубликовано: 8 Октября, 2022

В тригонометрии, используя формулы суммы и разности, можно вычислить значения тригонометрических функций под любым углом, где данный угол можно выразить как сумму или разность стандартных углов, таких как 0°, 30°, 45°, 60°. °, 90° и 180°. Мы можем легко запомнить значения тригонометрических отношений при стандартных углах; т.е. 0°, 30°, 45°, 60°, 90° и 180°. Например, чтобы оценить значение функции косинуса при 15°, мы можем написать 15° как разницу между 45° и 30°; т. е. cos 15° = cos (45°-15°). С помощью формул суммы и разности мы можем решать различные математические задачи, а также доказывать различные тригонометрические тождества и задачи.

У нас есть в основном шесть тригонометрических формул суммы и разности, они есть;

Sum and Difference formulae

  • sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
  • sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
  • cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
  • cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
  • tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
  • tan (A – B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Вывод тождеств суммы и разности

Чтобы продемонстрировать формулы тригонометрической суммы и разности, рассмотрим единичный круг с координатами, заданными как (cos θ, sin θ). Рассмотрим точки A и B, которые образуют углы α и β с положительной осью X соответственно. Координаты A и B равны (cos α, sin α) и (cos β, sin β) соответственно. Мы можем заметить, что угол AOB равен (α – β). Теперь рассмотрим еще две точки P и Q на единичной окружности такие, что Q — точка на оси X с координатами (1,0) и угол POQ равен (α — β), и, таким образом, координаты точки P есть (cos (α – β), sin (α – β)).

Теперь OA = OP и OB = OQ, поскольку они являются радиусами одной и той же единичной окружности, а также мера одного из углов обоих треугольников равна (α – β).

Следовательно, по конгруэнтности стороны-угла-стороны треугольники AOB и треугольник POQ равны.

Мы знаем, что соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны, следовательно, AB = PQ.

Итак, АВ = PQ.

Используя формулу расстояния между двумя точками, мы получаем,

d AB = √[(cos α – cos β) 2 + (sin α – sin β) 2 ]

= √[cos 2 α – 2 cos α cos β + cos 2 β + sin 2 α – 2 sin α sin β + sin 2 β] {Так как (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 )}

= √[(cos 2 α+ sin 2 α) + (cos 2 β+ sin 2 β) – 2(cos α cos β + sin α sin β)]

= √[1 + 1 – 2(cos α cos β + sin α sin β)] {Так как, sin 2 x + cos 2 x = 1}

= √[2 – 2(cos α cos β+ sin α sin β)] ———————— (1)

d PQ = √[(cos (α – β) – 1) 2 + (sin (α – β) – 0) 2 ]

= √[cos 2 (α – β) – 2 cos (α – β) + 1 + sin 2 (α – β)] {Так как (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 )}

= √[(cos 2 (α – β) + sin 2 (α – β)) + 1 – 2 cos (α – β)]

= √[1 + 1 – 2 cos (a – b)] {Поскольку, sin 2 x + cos 2 x = 1}

= √[2 – 2 cos (a – b)] ———————— (2)

Поскольку AB = PQ, приравняем оба уравнения (1) и (2).

√[2 – 2(cos α cos β+ sin α sin β)] = √[2 – 2 cos (α – β)]

Возводя в квадрат с обеих сторон, получаем,

2 – 2(cos α cos β+ sin α sin β) = 2 – 2 cos (α – β) ________________(3)

Формула Cos (a – b)

from eq (3)

⇒ 2 (1 – cos α cos β – sin α sin β) = 2 (1 – cos (α – β))

⇒ 1 – cos α cos β – sin α sin β = 1 – cos (α – β)

⇒ cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Формула Cos (a + b)

To derive the sum formula of the cosine function substitute (-β) in the place of β in the difference of the cosine function.

Hence, we get cos (α + β) = cos (α – (β))

= cos α cos (-β) + sin α sin (-β)    {Since, cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β}

= cos α cos β – sin α sin β            {Since, cos (-θ) = cos θ, sin (-θ) = – sin θ}

⇒ cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β  

 cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β  

Формула Sin (a – b)

We know that, sin (90° – θ) = cos θ and cos (90° – θ) = sin θ. 

So, sin (α – β) = cos (90° – (α – β))

= cos (90° – α + β)

= cos [(90° – α) + β]

= cos (90° – α) cos β – sin (90° – α) sin β      {Since,  cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β}

⇒ sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Формула Sin(a+b)

We know that, sin (90° – θ) = cos θ and cos (90° – θ) = sin θ.

So, sin (α + β) = cos (90° – (α + β))

= cos (90° – α – β)

= cos [(90° – α) – β]

= cos (90° – α) cos β + sin (90° – α) sin β    {Since, cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β}

⇒ sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Формула загара (a – b)

We know that, tan θ = sin θ/cos θ

So, tan (α – β) = sin (α – β)/cos (α – β)

= (sin α cos β – cos α sin β)/(cos α cos β + sin α sin β)       {Since, sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β and cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β}

Now, divide the numerator and denominator with cos α cos β

= [(sin α cos β – cos α sin β)cos α cos β ]/[(cos α cos β + sin α sin β)/(cos α cos β)

= (sin α/cos α – sin β/cos β)/(1 + (sin α/cos α)×(sin β/cos β))

= (tan α – tan β)/(1 + tan α tan β)

⇒ tan (α – β) = (tan α – tan β)/(1 + tan α tan β)

tan (α – β) = (tan α – tan β)/(1 + tan α tan β)

Формула загара (a + b)

To derive the tan (α + β) formula substitute (-β) in the place of β in the tan (α – β) formula.

Hence, we get, tan (α + β) = tan(α – (-β))

= (tan α – tan (-β))/(1 + tan α tan (-β))            {Since, tan (α – β) = (tan α – tan β)/(1 + tan α tan β)}

= (tan α + tan β)/(1 – tan α tan β)                   {Since, tan (-θ) = – tan θ}

⇒ tan (α + β) = (tan α + tan β)/(1 – tan α tan β)

tan (α + β) = (tan α + tan β)/(1 – tan α tan β)

Таблица формул суммы и разности

Формулы суммы

Разностные формулы

Синусоидальная функция

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Функция косинуса

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Касательная функция

тангенс (α + β) = (тангенс α + тангенс β)/(1 – тангенс α тангенс β)

тангенс (α – β) = (тангенс α – тангенс β)/(1 + тангенс α тангенс β)

Примеры проблем

Задача 1: Докажите формулы тройного угла синуса и косинуса, используя формулы суммы и разности.

Решение:

To Prove: sin 3A = 3 sin A – 4 sin3A

Proof:

We can write sin 3A as sin (2A + A)

⇒ sin 3A = sin (2A + A)

We have, sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

So, sin (2A + A) = sin 2A cos A + cos 2A sin A

We know that,

sin 2A = 2 sin A cos A and cos 2A = 1 – 2sin2 A 

⇒ sin (2A + A) = (2 sin A cos A) cos A + (1 – 2sin2 A)sin A

= 2 sin A cos2 A + sin A – 2 sin3 A

We have, cos2 A = 1 – sin2 A 

= 2 sin A (1 – sin2 A) + sin A – 2 sin3 A

= 2 sin A – 2sin3 A + sin A – 2 sin3 A

= 3 sin A – 4 sin3 A

Thus, sin 3A = 3 sin A – 4 sin3 A

Hence proved

To Prove: cos 3A = 4 cos3 A – 3 cos A

Proof:

We can write cos 3A as cos (2A + A)

⇒ cos 3A = cos (2A + A)

We have, cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

So, cos (2A + A) = cos 2A cos A – sin 2A sin A

We know that, 

sin 2A = 2sin A cos A and cos 2A = 2cos2 A – 1

⇒ cos (2A + A) = (2 cos2 A – 1) cos A – (2 sin A cos A) sin A

= 2 cos3 A – cos A – 2 sin2 A cos A

 We have, sin2 A = 1- cos2 A

= 2 cos3 A – cos A – 2 (1- cos2 A) cos A

= 2 cos3 A – cos A – 2 cos A + 2 cos3 A = 4 cos3 A – 3 cos A

Thus, cos 3A = 4 cos3 A – 3 cos A

Hence proved

Задача 2: Найдите значение cos 75°, используя формулы суммы и разности.

Решение:

We can write 75° as the sum of 45° and 30°.

By using the sum formula of the cosine function we get,

cos 75° = cos (45° + 30°)

= cos 45° cos 30° – sin 45° sin 30° {Since, cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B}

= (1/√2) (√3/2) – (1/√2)(1/2)        {Since, cos 45° = sin 45° = (1√2) , cos 30° = √3/2, sin 30° = 1/2}

= (√3 -1)/2√2

Hence, cos 75° = (√3 – 1)/2√2

Задача 3. Найдите значение тангенса 105°, используя формулы суммы и разности.

Решение:

We can write 105° as the sum of 60° and 45°.

By using the sum formula of the tangent function we get,

tan 105° = tan (60° + 45°)

= (tan 60° + tan 45°)/(1 – tan 60° tan 45°)   {Since, tan (A + B) = (tan A + tan B)

= (√3 + 1)/(1 – (√3 × 1))                                {Since, tan 60° = √3, tan 45° = 1}

= (√3 + 1)/(1 – √3)

Rationalize the above expression with the conjugate of the denominator.

= 

= (√3 + 1)2/(1 – (√3)2)

= (3 + 2√3 + 1)/(1 – 3)

= (4 + 2√3)/(-2)

= -2 – √3

Hence, tan 105° = -2 – √3.

Задача 4: Оцените значение sin 15°, используя формулы суммы и разности.

Решение:

We can write 15° as the difference between 45° and 30°.

By using the difference formula of sine function we get,

sin 15° = sin (45° – 30°)

= sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30°  {Since, sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B}

= (1/√2) (√3/2) – (1/√2)(1/2)          {Since, cos 45° = sin 45° = (1√2) , cos 30° = √3/2, sin 30° = 1/2}

= (√3 – 1)/2√2

Hence, sin 15° = (√3 – 1)/2√2

Задача 5: Докажите, что sin (π/4 – a) cos (π/4 – b) + cos (π/4 – a) sin (π/4 – b) = cos (a + b).

Решение:

L.H.S = sin (π/4 – a) cos (π/4 – b) + cos (π/4 – a) sin (π/4 – b)

If we observe it in the form of sin A cos B + cos A sin B

We know that, sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

= sin [(π/4 – a) + (π/4 – b)]

= sin [(π/2) – (a + b)]

= cos (a + b)             {Since, sin (90° – θ) = cos θ}

= R. H. S

Hence, proved.

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ СТАТЬИ