Формулы половинного угла
Тригонометрия — это раздел математики, изучающий углы, размеры и меры. Угол образуется, когда две линии находятся под некоторым наклоном по отношению друг к другу. Наклон угла называется измерением, и когда несколько углов сходятся вместе, они дают измерение.
Существует несколько формул и тождеств, помогающих в определении наклона и измерений. Определены значения тригонометрических 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180° для sin, cos, tan, cosec, sec и cot. Точно так же у нас также есть то, что в математике называется формулой половинного угла.
Формулы половинного угла
Для нахождения значений углов кроме известных значений 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°. Половинные углы получены из формул двойного угла и перечислены ниже для sin, cos и tan:
- sin x/2 = +/- ((1 – cos x)/2) 1/2
- cos x/2 = +/- ((1 + cos x)/2) 1/2
- тангенс x/2 = (1 – cosx)/sinx
Еще несколько важных тождеств формулы двойного угла, которые будут полезны для вывода формул половинного угла:
cos 2x = cos (x +x)
cos 2x = (cosx)(cosx) – (sinx)(sinx)
cos 2x = cos2x – sin2x
cos 2x = cos2x – (1 -cos2x)
cos2x = 2cos2x – 1 ⇢ (eq. 1)
Now, put cos2x = 1 – sin2x
cos2x = 2 (1 – sin2x) – 1
cos2x = 2 – 2sin2x- 1
cos2x = 1 – 2sin2x ⇢ (eq. 2)
Вывод формулы половины угла для cos
From above, we will make use of cos2x = 2cos2x – 1, equation 1 denoted by eq. 1,
Put x = 2y
cos (2)(y/2) = 2cos2(y/2) – 1
cos y = 2cos2(y/2) – 1
1 + cos y = 2cos2(y/2)
Or
2cos2(y/2) = 1 + cosy
cos2(y/2) = (1+ cosy)/2
cos(y/2) = +/- √(1+ cosy)/2
Вывод формулы половинного угла для греха
From above, we will make use of cos2x = 1 – 2sin2x , equation 2 denoted by eq2.
Put x = 2y
cos (2)(y/2) = 1 – 2sin2(y/2)
cos y = 1 – 2sin2(y/2)
2sin2(y/2) = 1 – cosy
sin2(y/2) = (1 – cosy)/2
sin(y/2) = +/- √(1 – cosy)/2
Вывод формулы половинного угла для загара
tan(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2)
Putting the values of half angle for sin and cos. We get,
tan(x/2) = +/- ((√(1 – cosy)/2 ) / (√(1+ cosy)/2 ))
tan(x/2) = +/- (√(1 – cosy)/(1+ cosy) )
Rationalising the denominator
tan(x/2) = +/- (√(1 – cosy)(1 – cosy)/(1+ cosy)(1 – cosy))
tan(x/2) = +/- (√(1 – cosy)2/(1 – cos2y))
tan(x/2) = +/- (√(1 – cosy)2/( sin2y))
tan(x/2) = (1 – cosy)/( siny)
Примеры проблем
Вопрос 1: Определить значение sin 15°
Решение:
We know that the formula for half angle of sine is given by:
sin x/2 = +/- ((1 – cos x)/ 2) 1/2
The value of sine 15° can be found by substituting x as 30° in the above formula
sin 30°/2 = +/- ((1 – cos 30°)/ 2) 1/2
sin 15° = +/- ((1 – 0.866)/ 2) 1/2
sin 15° = +/- (0.134/ 2) 1/2
sin 15° = +/- (0.067) 1/2
sin 15° = +/- 0.2588
Вопрос 2: Определить значение sin 22,5 °
Решение:
We know that the formula for half angle of sine is given by:
sin x/2 = +/- ((1 – cos x)/ 2) 1/2
The value of sine 15° can be found by substituting x as 45° in the above formula
sin 45°/2 = +/- ((1 – cos 45°)/ 2) 1/2
sin 22.5° = +/- ((1 – 0.707)/ 2) 1/2
sin 22.5° = +/- (0.293/ 2) 1/2
sin 22.5° = +/- (0.146) 1/2
sin 22.5° = +/- 0.382
Вопрос 3: Определить значение тангенса 15°
Решение:
We know that the formula for half angle of sine is given by:
tan x/2 = +/- (1 – cos x)/ sin x
The value of tan 15° can be found by substituting x as 30° in the above formula
tan 30°/2 = +/- (1 – cos 30°)/ sin 30°
tan 15° = +/- (1 – 0.866)/ sin 30
tan 15° = +/- (0.134)/ 0.5
tan 15° = +/- 0.268
Вопрос 4: Определить значение тангенса 22,5°
Решение:
We know that the formula for half angle of sine is given by:
tan x/2 = +/- (1 – cos x)/ sin x
The value of tan 22.5° can be found by substituting x as 45° in the above formula
tan 30°/2 = +/- (1 – cos 45°)/ sin 45°
tan 22.5° = +/- (1 – 0.707)/ sin 45°
tan 22.5° = +/- (0.293)/ 0.707
tan 22.5° = +/- 0.414
Вопрос 5: Определить значение cos 15°
Решение:
We know that the formula for half angle of sine is given by:
cos x/2 = +/- ((1 + cos x)/ 2) 1/2
The value of sine 15° can be found by substituting x as 30° in the above formula
cos 30°/2 = +/- ((1 + cos 30°)/ 2) 1/2
cos 15° = +/- ((1 + 0.866)/ 2) 1/2
cos 15° = +/- (1.866/ 2) 1/2
cos 15° = +/- (0.933) 1/2
cos 15° = +/- 0.965
Вопрос 6: Определите значение cos 22,5°
Решение:
We know that the formula for half angle of sine is given by:
cos x/2 = +/- ((1 + cos x)/ 2) 1/2
The value of sine 15° can be found by substituting x as 45° in the above formula
cos 45°/2 = +/- ((1 + cos 45°)/ 2) 1/2
cos 22.5° = +/- ((1 + 0.707)/ 2) 1/2
cos 22.5° = +/- (1.707/ 2) 1/2
cos 22.5° = +/- ( 0.853 ) 1/2
cos 22.5° = +/- 0.923