Формула точки пересечения двух прямых

Точка пересечения — это точка, в которой встречаются две прямые или две кривые. Точка пересечения двух линий двух кривых является точкой. Если две плоскости пересекаются, то точка их пересечения — прямая. Точнее, он определяется как общая точка обеих линий или кривых, которые удовлетворяют обеим кривым, которые могут быть получены путем решения уравнения кривых.

Если мы рассмотрим две линии a ₁ x + b ₁ y + c ₁ = 0 и a ₂ x + b ₂ y + c ₂ = 0, то точка пересечения этих двух линий определяется выражением:

Point of Intersection (x, y) = ((b₁×c₂ − b₂×c₁)/(a₁×b₂ − a₂×b₁), (c₁×a₂ − c₂×a₁)/(a₁×b₂ − a₂×b₁))

Вывод точки пересечения двух прямых:

Given equations:

a1x + b1y + c1 = 0 -> eq-1

a2x + b2y + c2 = 0 -> eq-2

Solving the equations using cross multiplication method:

       x     y     1

    b1    c1    a1    b1

    b2    c2    a2    b2

On cross-multiplying the constants we obtain:

x/(b1*c2 – b2* c1) = y/(c1*a2-c2*a1) = 1/(a1*b2-a2*b1)

Solving for x:

=> x/(b1*c2 – b2* c1) = 1/(a1*b2-a2*b1) 

=> x = (b1*c2 – b2* c1)/(a1*b2-a2*b1)

Solving for y:

=> y/(c1*a2-c2*a1) = 1/(a1*b2-a2*b1)

=> y=(c1*a2−c2*a1)/(a1*b2−a2*b1)

Hence point of intersection:

(x,y) = ((b₁×c₂ − b₂×c₁)/(a₁×b₂ − a₂×b₁), (c₁×a₂ − c₂×a₁)/(a₁×b₂ − a₂×b₁))

Если две прямые параллельны, то они никогда не пересекаются:

Condition for two lines a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0 to be parallel 

 a1/b1 = a2/b2. 

Примеры проблем

Вопрос 1: Найдите точку пересечения прямой 3x + 4y + 5 = 0, 2x + 5y +7 = 0.

Решение:

The point of intersection of two lines is given by :

 (x, y) = ((b1*c2−b2*c1)/(a1*b2−a2*b1), (c1*a2−c2*a1)/(a1*b2−a2*b1))

 a1 = 3, b1 = 4, c1 = 5

 a2 = 2, b2 = 5, c2 = 7

 (x,y) = ((28-25)/(15-8), (10-21)/(15-8))

 (x,y) = (3/7,-11/7)

Вопрос 2: Найдите точку пересечения прямой 9x + 3y + 3 = 0, 4x + 5y + 6 = 0.

Решение:

The point of intersection of two lines is given by :

 (x,y) = ((b1*c2−b2*c1)/(a1*b2−a2*b1), (c1*a2−c2*a1)/(a1*b2−a2*b1))

 a1 = 9, b1 = 3, c1 = 3

 a2 = 4, b2 = 5, c2 = 6

 (x, y) = ((18-15)/(45-15), (54-12)/(45-15))

 (x, y) = (1/10, 7/5)

Вопрос 3: Проверьте, параллельны ли две прямые 2x + 4y + 6 = 0, 4x + 8y + 6 = 0

Решение:

To check whether the lines are parallel or not we need to check a1/b1 = a2/b2

a1 = 2, b1 = 4

a2 = 4, b2 = 8

2/4 = 4/8

1/2 = 1/2

Since the condition is satisfied the lines are parallel and can’t intersect each other.

Вопрос 4: Проверьте, параллельны ли две прямые 3x + 4y + 8 = 0, 4x + 8y + 6 = 0

Решение:

To check whether the lines are parallel or not we need to check a1/b1 = a2/b2

a1 = 3, b1 = 4

a2 = 4, b2 = 8

3/4 is not equal to 4/8

Since the condition is not satisfied the lines are not parallel.

Вопрос 5: Проверить, является ли точка (3, 5) точкой пересечения прямых 2x + 3y – 21 = 0, x + 2y – 13 = 0.

Решение:

A point to be a point of intersection it should satisfy both the lines.

Substituting (x,y) = (3,5) in both the lines

Check for equation 1: 2*3 + 3*5 – 21 =0 —-> satisfied

Check for equation 2: 3 + 2* 5 -13 =0 —-> satisfied

Since both the equations are satisfied it is a point of intersection of both the lines.

Вопрос 6: Проверить, является ли точка (2, 5) точкой пересечения прямых x + 3y – 17 = 0, x + y – 13 = 0

Решение:

A point to be a point of intersection it should satisfy both the lines.

Substituting (x,y) = (2,5) in both the lines

Check for equation 1: 2+ 3*5 – 17 =0 —-> satisfied

Check for equation 2: 7 -13 = -6  —>not satisfied

Since both the equations are not satisfied it is not a point of intersection of both the lines.

Вопрос 7: Найдите точку пересечения прямых x = -2 и 3x + y + 4 = 0

Решение:

On substituting x = -2 in 3x + y + 4 = 0

-6 + y + 4 = 0;

y = 2;

So the point of intersection is (x,y) = (-2,2)