Формула суммы бесконечного ряда

Формула бесконечного ряда используется для нахождения суммы бесконечного числа членов, учитывая, что члены находятся в бесконечной геометрической прогрессии с абсолютным значением обыкновенного отношения меньше 1. Это потому, что только если обыкновенное отношение меньше 1 сумма будет стремиться к определенному значению, иначе абсолютное значение суммы будет стремиться к бесконечности.

Формула

For a geometric series, we can express the sum as,

a + ar + ar² + ar³ + … + (infinite terms) = a/(1 – r)

where, 

a = first term of the geometric series

r = common ratio, where -1 < r < 1

Условия:

• Ряд должен идти в геометрической прогрессии.
• Абсолютное значение общего отношения должно быть меньше 1.

Вывод формулы

Let’s consider,

a = first term of the geometric series

r = common ratio, where -1 < r < 1

Let us consider the sum of the geometric progression be S.

Then we can write,

S = a + ar + ar²+ ar³ + …             —– (i)

Multiplying both sides of the equation by r, we get,

Sr = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + …        —– (ii)

Subtracting Eq. (ii) from Eq. (i), we get

S – Sr = (a + ar + ar²+ ar³) + … – (ar + ar² + ar³ + ar⁴ + …)

S(1 – r) = a

S = a/(1 – r)

Hence, the sum of infinite series of a geometric progression is a/(1 – r)

Примечание:

If the absolute value of the common ratio ‘r’ is greater than 1, then the sum will not converge.

Thus, the absolute value of the sum will tend to infinity. Thus, if r > 1,

| S | = | a + ar + ar² + ar³ + … | = ∞

Примеры проблем

Вопрос 1. Найдите сумму бесконечного ряда с первым членом 4 и знаменателем 1/2.

Решение:

Given, the first term a = 4

The common ratio r = 1/2

Thus, we can write the series as,

S = 4 + 4 × (1/2) + 4 × (1/2)² + …

So, the sum will stand as

S = 4/(1 – (1 / 2)) = 4/(1/2) = 4 × 2 = 8

S = 8

So, the sum of the series is equal to 8.

Вопрос 2. Найдите сумму бесконечного ряда 1 + (1/2) + (1/2) ² + (1/2) ³ + … .

Решение:

Given, the first term of the series a =  1.

The common ratio is  r = 1/2.

Since the absolute value of the common ratio is less than 1, we can apply the general formula.

So, the sum is,

S = 1/(1 – (1/2)) = 2

So, the sum of the given infinite series is 2.

Вопрос 3. Оцените сумму 2 + 4 + 8 + 16 + … .

Решение:

We can write the sum of the given series as,

S = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + …

We can observe that it is a geometric progression with infinite terms and first term equal to 2 and common ratio equals 2.

Thus, r = 2.

Since, the value of r > 1, the sum will not converge and tend to infinity. Thus,

S = + ∞

Вопрос 4. Найдите сумму ряда 2 – 1/5 + 1 – 1/25 + 1/2 – 1/125 + … .

Решение:

We can write the sum of the series as the difference of two infinite series as:

S = (2 + 1 + 1/2 + 1/2² + …) – (1/5 + 1/25 + 1/125 + … )

S = (2 + 1 + 1/2 + 1/2² + …) – (1/5 + 1/5² + 1/5³ + …)

S = S1 – S2

where,

S1 = 2 + 1 + 1/2 + 1/2² + …

S2 = 1/5 + 1/5² + 1/5³ + …

Here, we can see both S1 and S2 are infinite summation of geometric series, where,

a1 = 2, r1 = 1/2

a2 = 1/5, r2 = 1/5

Thus, we can write,

S1 = 2/(1 – (1/2)) = 2/(1/2) = 4

S2 = (1/5)/(1 – (1/5)) = (1/5) / (4/5) = 1/4

So, the summation S stands as,

S = S1 – S2 = 4 – 1/4 = (16 – 1)/4 = 15/4 = 3.75

S = 3.75

Thus, the sum of the given series is 3.75 .