Формула пифагорейских троек

Понятие пифагорейских троек использовалось с древних времен многими греческими, китайскими и индийскими философами. Он используется для объяснения взаимосвязи между тремя сторонами (т. е. a, b и c) прямоугольного треугольника. Он гласит, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон треугольника. В этой статье мы подробно узнаем о формуле троек Пифагора вместе с примерами.

Формула пифагорейских троек

Эта формула используется для нахождения трех положительных целых чисел или терминов, удовлетворяющих теореме Пифагора. Как правило, эти три термина могут быть записаны в форме (a, b, c), а треугольник, образованный этими терминами, известен как треугольник Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором m — основание, n — перпендикуляр, а p — гипотенуза. Итак , по теореме Пифагора о тройках: сумма квадратов любых двух сторон равна квадрату третьей стороны.

m² + n² = p²

Итак, формула пифагорейских троек

• m = a – b
• n = 2ab
• p = a² + b²

Здесь m, n и p — основание, перпендикуляр и гипотенуза. a и b — любые два положительных целых числа, где a > b, взаимно просты и не должны быть нечетными числами.

1. Формула троек Пифагора для нечетных натуральных чисел:

Приведенную ниже формулу можно использовать для поиска троек, если у нас есть нечетное число (1, 3, 5, 7, 9 и т. д.), которое можно принять за m, тогда два числа можно найти, подставив m в формулу.

(m, (m² – 1)/2 , (m² + 1)/2)

Here m should be greater than 1.

2. Формула троек Пифагора для четных натуральных чисел:

Приведенную ниже формулу можно использовать для нахождения троек, если у нас есть четное число (2, 4, 6, 8,10 и т. д.), которое можно принять за m, тогда два других числа можно найти, подставив m в формулу .

(m, (m² – 4)/4 , (m² + 4)/4)

Here m should be greater than 2.

Доказательство формулы пифагорейских троек

We can prove the Pythagorean Triplets Formula in many ways but here we use the algebraic method. In this method, we use the terms shown in the below figure.

Step 1: We have four right-angled triangles with base m, perpendicular n, and hypotenuse p. Now arrange these triangles so that they make two squares one is outer square ABCD whose side is m+n and another one is inner square WZXY whose side is c.

Step 2: Now we find the area of the inner, outer square, and triangles:

Area of outer square ABCD = (m+n)²

Area of inner square WXYZ = (p)²

Area of one triangle = 1/2(m × n)²

Area of four triangles = 4 × 1/2(m × n)² = 2(m × n)²

Step 3: As we know that the area of square ABCD = Area of square WXYZ + Area of four triangles

So (m + n)² =  2(m × n)² + p² 

m² + 2 × m × n + n² = 2 × m × n + p²

m² + n² = p²

Hence Pythagorean Triplets Formula is proved.

Типы пифагорейских троек

1. Примитивные пифагорейские тройки: они также известны как редуцированные тройки, наибольший общий делитель этих троек равен 1. Или мы можем сказать, что примитивные пифагорейские тройки — это те тройки, в которых три числа не имеют общего делителя, кроме единицы. Такой тип троек содержит только одно четное положительное число среди трех заданных трех чисел.

Example: 3, 4, 5

3, 4, 5 are Pythagorean triplets as they satisfy the Pythagorean triplets formula also the greatest common factor of 3, 4, 5 is 1.

2. Непримитивные пифагорейские тройки: они также известны как импримитивные пифагорейские тройки. Непримитивные пифагорейские тройки — это те тройки, в которых три числа имеют общий делитель. Такие типы троек могут содержать более одного четного положительного числа среди трех заданных трех чисел.

Example: 6, 8, 10

6, 8, 10 are Pythagorean triplets as they satisfy the Pythagorean triplets formula but the greatest common factor of 6, 8, 10 is not equal to 1 so these are non – primitive Pythagorean triplets.

Свойства пифагорейских триплетов

• Пифагоровы тройки — это стороны прямоугольного треугольника, представленные как m, n, p.
• Эти числа удовлетворяют формуле троек Пифагора m ² + n ² = p ² .
• Стороны m и n — это стороны прямоугольного треугольника, которые представляют собой перпендикуляр и основание, а p — это гипотенуза.
• Пифагорейская тройка состоит из всех четных чисел или двух нечетных чисел и одного четного числа.
• Все три числа пифагорейской тройки никогда не могут быть нечетными.

Примеры вопросов

Вопрос 1: Найдите пифагорейские тройки, если m = 8.

Решение:

Given m = 8,

so (m² – 4)/4 = (64 – 4)/4 = 15

(m² + 4)/4 =(64 + 4)/4 = 17

Hence Pythagorean Triplets are 8, 15, 17.

Вопрос 2: Найдите пифагорейские тройки, если m = 9.

Решение:

Given m = 9,

so (m² – 1)/2 = (81 – 1)/2 = 40

(m² + 1)/2 =(81 + 1)/2 = 41

Hence Pythagorean Triplets are 9, 40, 41.

Вопрос 3: Найдите пифагоровы тройки, один из членов которых равен 13.

Решение:

Take m = 13,

so (m² – 1)/2 = (169 – 1)/2 = 84

(m² + 1)/2 =(169 + 1)/2 = 85

Hence Pythagorean Triplets are 13, 84, 85.

Вопрос 4: Проверка, является ли (6, 8, 10) пифагорейской тройкой или нет.

Решение:

Let us take m = 6, n = 8, and p = 10

According to the formula 

m² + n² = p²

We get

(6)² + (8)² = (10)²

36 + 64 = 100

100 = 100

Here L.H.S = R.H.S

Hence proved that (6, 8, 10) is a Pythagorean triplet.

Вопрос 5: Если (y, 84, 85) — пифагорейская тройка, то найдите значение y.

Решение:

Let us take m = y, n = 84, and p = 85

According to the formula 

m² + n² = p²

We get

(y)² + (84)² = (85)²

y² + 7056 = 7225

y² = 169

y = 13