Фигуры на одной базе и между одинаковыми параллелями

Опубликовано: 8 Октября, 2022

Треугольник — это трехсторонний многоугольник, а параллелограмм — четырехсторонний многоугольник или просто четырехугольник с параллельными противоположными сторонами. Мы сталкиваемся с этими двумя полиномами почти везде в нашей повседневной жизни. Например: допустим, у фермера есть участок земли в форме параллелограмма. Он хочет разделить эту землю на две части для своих дочерей. Теперь, когда он разделен на две части, он будет генерировать два треугольника. Таким образом, в этом случае нам становится необходимым знать их области. Простые формулы для вычисления площадей треугольников и параллелограммов иногда могут быть громоздкими. Итак, мы используем некоторые теоремы и свойства, чтобы упростить наши вычисления в таких сценариях. Рассмотрим эти свойства подробно.

Параллелограммы и треугольники

Треугольники имеют три стороны, а параллелограммы — это четырехугольники, у которых четыре стороны, а противоположные стороны параллельны друг другу. На рисунке ниже показаны параллелограмм и треугольник. Допустим, «b2» и «h2» — это длина основания и высота треугольника соответственно, а «b1» и «h1» — это основание и высота параллелограмма.

Area of triangle = 

Area of parallelogram = 

Конгруэнтные фигуры и их площади

Мы знаем, что две фигуры называются конгруэнтными, если они имеют одинаковый размер и форму. Итак, если две фигуры конгруэнтны, вы можете наложить их друг на друга, и обе они полностью закроют другую фигуру. Это означает, что если любые две фигуры конгруэнтны, то их площади должны быть равны. Но обратите внимание, что обратное этому утверждению неверно: если две фигуры имеют равные площади, нет необходимости, чтобы они были конгруэнтными. На рисунке ниже мы видим две пары фигур, которые конгруэнтны и имеют одинаковые площади, но другая пара фигур имеет те же площади, но они не конгруэнтны.

На приведенном выше рисунке давайте сравним площади двух четырехугольников.

Ar(PQRS) = 9 × 4 = 36

Ar(TUVW) = 6 2 = 36

Обратите внимание, что оба имеют одинаковую площадь, но они не конгруэнтны. Это подтверждает, что обратное нашему утверждению, которое мы дали ранее, неверно. Итак, теперь определение площади можно резюмировать следующим образом:

Area of a figure is the measure of the plane that is enclosed by that figure. It has following two properties: 

  1. Let’s say we have two figures X and Y. If X and Y are congruent figures, then ar(X) = ar(Y).
  2. If both figure combine without overlapping to make another figure T. Area of figure T will be given by, ar(T) = ar(X) + ar(Y).

Параллелограммы на одном основании и между одинаковыми параллелями

Наша цель — узнать об отношении между площадями двух параллелограммов, когда они имеют одно и то же основание и находятся между одними и теми же параллелями. На рисунке ниже показаны два параллелограмма с общим основанием и между одинаковыми параллельными прямыми. Докажем связь между этими областями с помощью некоторых теорем.

Теорема: параллелограммы с одинаковым основанием и между одинаковыми параллелями имеют одинаковую площадь.

Доказательство:

Let’s assume we have two parallelograms PQRS and RSTU as shown in the figure below. Both have the same base RS and are between same parallels. The objective is to prove that ar(PQRS) = ar(RSTU). 

In the figure, RSTQ is common to both the parallelograms. Now, if we can prove that ar(PST) = ar(QRU). We can prove that areas of both parallelograms are equal. 

Let’s look at the triangle PST and QRU. 

∠SPT = ∠RQU (Corresponding angles) 

∠PTS = ∠QUR (Corresponding angles)

Now since two angles of triangles are equal, the third angle will also be equal due to angle sum property. 

∠PST = ∠QRU 

Now both of these triangles are congruent 

ΔPST≅ ΔQRU

Thus, ar(PST) = ar(QRU) 

Now we know that, 

Ar(PQRS) = ar(RSTQ) + ar(PST) 

Ar(RSTU) = ar(RSTQ) + ar(QRU) 

Since ar(RSTQ) is common and ar(PST) = ar(QRU). 

Thus, ar(PQRS) = ar(RSTU)

Треугольники в одном основании и между одинаковыми параллелями

На рисунке ниже представлены два треугольника, которые лежат на одном основании и находятся между одинаковыми параллелями. Наша цель — найти соотношение между площадями этих двух треугольников. Давайте посмотрим на теоремы, связанные с

Теорема: Два треугольника на одном основании и между одинаковыми параллелями имеют одинаковую площадь.

Доказательство:

We know that area of triangle is given by 

So, two triangles will have same area if they have same base and height. 

Our triangles have a common base. Now since they are between two parallels, they must have the same height. Thus, both the triangles have same area. 

Примеры вопросов

Вопрос 1: Найдите площадь треугольника и параллелограмма, изображенных на рисунках ниже.

Решение:

We know, 

Area of triangle = 

Area of parallelogram = b2 × h2

= 3 × 5 

= 15

Вопрос 2: Назовите три свойства параллелограмма.

Отвечать:

Three properties of parallelogram: 

  1. Opposite sides are parallel and equal.
  2. Opposite angles are equal.
  3. Adjacent Angles sum up to 180°.

Вопрос 3: В треугольнике ΔPQR, изображенном на рисунке ниже, PS является медианой. Докажите, что ar(PSR) = ar(PQS).

Отвечать:

Now if we draw a perpendicular from the vertex P to the base QR. We’ll see that this perpendicular is common to both the triangle. Thus, both of them have same base and same height. So, they must have the same area. 

Вопрос 4: На приведенном ниже рисунке изображены прямоугольник RSTU и параллелограмм PQRS. Дано, что PL перпендикулярна RS. Теперь докажите:

  1. Ar(РГТУ) = ar(PQRS)
  2. Ar(PQRS) = RS x AL.

Решение:

1. We know that rectangles are also parallelograms. So, the theorem we studied also apply on the rectangle. Both of these figures have same base and lie between same parallels. Thus, both should have the same area. 

Ar(RSTU) = ar(PQRS) 

2. The area of parallelogram = base x height. 

Ar(PQRS) = RU x RS

Since, PURL is also a rectangle, RU = AL. Thus, 

Ar(PQRS) = RS x AL. 

Вопрос 5: У фермера есть поле в форме параллелограмма PQRS. Фермер берет точку на RS и соединяет ее с P, Q. Ответьте на следующие вопросы:

  1. Сколько порций у него сейчас в поле ?
  2. Он хочет посеять кукурузу и сахарный тростник, какие порции он должен использовать, чтобы и то, и другое росло на одной площади.

Решение:

1. Let the point farmer chose to be X. Join X to P and Q. This divides the field into three parts. 

2. Now, we know that the if a triangle and a parallelogram have same base and are in between same parallels. Then, area of triangle is half of the area of the parallelogram. 

So, in this case, ar(XPQ) = 1/2(ar(PQRS) 

So, the remaining two portions must make the other half of the area. That means,

Ar(XPQ) = ar(XPS) + ar(XQR) 

So, he should grow one crop in XPQ and other crop in both XPS and XQR.

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ СТАТЬИ