Факторная формула

Факториал числа «n» определяется как произведение всех целых чисел, меньших «n» до 1. Таким образом, его можно определить как факториал числа 4 как 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Он представлен символом '!'. Допустим, нужно записать факториал 5, его можно записать как 5! и стоимость 5! равно 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Давайте посмотрим на формулу факториала в обобщенном виде,

Факторная формула

Как обсуждалось ранее, факториал определенного числа представляет собой умножение этого числа на все числа, меньшие этого числа, до 1. Таким образом, если число равно n и необходимо найти этот факториал n, n должно быть умножается на (n – 1), (n – 2),… до 1. Формула для факториала станет,

Factorial of n = n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 1

Свойства факториала

• Факториал любого числа - это целое число
• Факториал также может быть представлен как рекурсивная функция.

n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 1 = n × (n – 1)!

• Факториал нуля равен 1, то есть 0! = 1
• Факториал отрицательных чисел не определен

Использование факториальной формулы

Формула факториала используется во многих областях, особенно в перестановках и комбинациях математики. Например,

• Количество способов, которыми n различных предметов можно расположить в ряд, равно n!
• Перестановка дает количество способов выбрать r элементов из n элементов, когда порядок имеет значение . Он дается по формуле ⁿ P _r .

ⁿP_r = n! / (n – r)!

• Комбинация дает количество способов выбрать r элементов из n элементов, где порядок не имеет значения . Он задается как ⁿ C _r .

ⁿC_r = n! / r! (n – r)!

Примеры проблем

Вопрос 1: Найдите факториал числа 5.

Решение:

To find the factorial of 5, we need to multiply all the whole numbers smaller than or equal to 5.

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Hence, 5! = 120

Вопрос 2: Найдите значение числа х по факториалу х, равное 720.

Решение:

Apply the recursive property of factorial to find x. Until and unless we get 720 as our result, we will proceed recursively.

1! = 1

2! = 2 × 1! = 2

3! = 3 × 2! =6

4! = 4 × 3! = 4 × 6 = 24

5! = 5 × 4! = 5 × 24 = 120

6! = 6 × 5! = 6 × 120 = 720

Since 720 is obtained as the factorial of 6, one can compare the value of x with 6.

Thus, the value of x = 6

Вопрос 3: Найдите, сколькими способами можно расположить в ряд 5 различных предметов.

Решение:

Use the property that the number of ways n distinct objects can be arranged in a row is equal to n!

Thus, 5 distinct objects can be arranged in 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

So, the number of ways is equal to 120.

Вопрос 4: Найдите сколькими способами можно выбрать 3 учеников из класса из 50 учеников.

Решение:

To find the number of ways 3 students can be selected from a class of 50 students, we can use the formula for Combination, since the order of the selected three students does not matter here.

Thus, the total number of ways = ⁵⁰C₃

So, this can be simplified as ⁵⁰C₃ = 50! / (3! × 47!) = (50 × 49 × 48 × 47!) / (3! × 47!) = 50 ×49 × 48 / 6 = 19,600

So, there are a total of 19,600 ways.

Вопрос 5: Три разных фрукта нужно раздать группе из 10 человек. Найдите общее количество способов, которыми это возможно.

Решение:

Since, in this case, the order of how the fruits are distributed matters, we need to implement Permutation.

So, the total number of ways is given as ¹⁰P₃.

Simplifying, this can be written as,

¹⁰P₃ = 10! / (10 – 3) ! = 10! / 7! = 10 × 9 × 8 × 7! / 7! = 10 × 9 × 8 = 720

Thus, there are a total of 720 ways possible.