Если x sin3θ + y cos3θ = sin θ cos θ и x sin θ – y cos θ = 0, то докажите, что x2 + y2 = 1

Тригонометрия — это дисциплина математики, изучающая отношения между длинами сторон и углами прямоугольного треугольника. Тригонометрические функции, также известные как гониометрические функции, угловые функции или круговые функции, — это функции, которые устанавливают связь между углом и отношением двух сторон прямоугольного треугольника. Шесть основных тригонометрических функций — это синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс.

Angles defined by the ratios of trigonometric functions are known as trigonometry angles. Trigonometric angles represent trigonometric functions. The value of the angle can be anywhere between 0-360°.

Как показано на рисунке выше в прямоугольном треугольнике:

• Гипотенуза: Сторона, противоположная прямому углу, является гипотенузой. Это самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике, противоположная углу 90 °.
• Основание: Сторона, на которой лежит угол С, называется основанием.
• Перпендикуляр: это сторона, противоположная рассматриваемому углу C.

Тригонометрические функции

Тригонометрия имеет 6 основных тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс. Теперь давайте рассмотрим тригонометрические функции. Шесть тригонометрических функций следующие:

sine: It is defined as the ratio of perpendicular and hypotenuse and It is represented as sin θ

cosine: It is defined as the ratio of base and hypotenuse and it is represented as cos θ

tangent: It is defined as the ratio of sine and cosine of an angle. Thus the definition of tangent comes out to be the ratio of perpendicular and base and is represented as tan θ

cosecant: It is the reciprocal of sin θ and is represented as cosec θ.

secant: It is the reciprocal of cos θ and is represented as sec θ.

cotangent: It is the reciprocal of tan θ and is represented as cot θ.

Тригонометрические отношения

Sin θ = Perpendicular / Hypotenuse = AB/AC

Cosine θ = Base / Hypotenuse = BC/AC

Tangent θ = Perpendicular / Base = AB/BC

Cosecant θ = Hypotenuse / Perpendicular = AC/AB

Secant θ = Hypotenuse / Base = AC/BC

Cotangent θ = Base / Perpendicular = BC/AB

Взаимные тождества

Sin θ = 1/Cosec θ                    OR        Cosec θ = 1/Sin θ

Cos θ = 1/Sec θ                       OR        Sec θ = 1/Cos θ

Cot θ = 1/Tan θ                     OR         Tan θ = 1/Cot θ

Cot θ = Cos θ/Sin θ               OR         Tan θ = Sin θ/Cos θ

Tan θ.Cot θ = 1

Значения тригонометрических отношений

Тригонометрические тождества дополнительных и дополнительных углов

• Дополнительные углы: пара углов, сумма которых равна 90°.
• Дополнительные углы: пара углов, сумма которых равна 180°.

Тождества дополнительных углов

sin (90° – θ) = cos θ

cos (90° – θ) = sin θ

tan (90° – θ) = cot θ

cot (90° – θ) = tan θ

sec (90° – θ) = cosec θ

cosec (90° – θ) = sec θ

Тождества дополнительных углов

sin (180° – θ) = sin θ

cos (180° – θ) = – cos θ

tan (180° – θ) = – tan θ

cot (180° – θ) = – cot θ

sec (180° – θ) = – sec θ

cosec (180° – θ) = – cosec θ

Если x sin ³ θ + y cos ³ θ = sin θ cos θ и x sin θ – y cos θ = 0, то докажите, что x ² + y ² = 1, (где sin θ ≠ 0 и cos θ ≠ 0) .

Решение:

Here we have, x sin³ θ + y cos³ θ = sin θ cos θ

Given:

x sin³ θ + y cos³ θ = sin θ cos θ

⇒ (x sin θ) sin² θ + (y cos θ) cos² θ = sin θ cos θ

⇒  (x sin θ) sin² θ + (x sin θ) cos² θ = sin θ cos θ                    (∵  y cos θ = x sin θ)

⇒ x sin θ(sin² θ + cos² θ) = sin θ cos θ                                   (sin² θ + cos² θ = 1) 

⇒ x sin θ = sin θ cos θ

⇒ x = cos θ         ….(eq. 1)

Now another trigono eq we have  x sin θ – y cos θ = 0

We can write it as x sin θ = y cos θ

from eq. 1 we have x = cos θ so put it in above eq. x sin θ = y cos θ

So x sin θ = y cos θ

cos θ sin θ = y cos θ

y = sin θ                    eq. 2

Now by squaring and adding both the equation 1 & 2

x = cos θ & y = sin θ   

x² = cos² θ    & y ²  = sin² θ 

So now          

x² + y² = cos² θ + sin ²θ        { cos² θ + sin ²θ = 1 }

x² + y²  =  1

Hence proved 

Похожие вопросы

Вопрос 1: Если cos θ + sin θ = √2 cos θ, то доказать, что cos θ – sin θ = √2 sin θ?

Решение:

Here we have

cos θ + sin θ = √2 cos θ

Squaring both the sides

(cos θ + sin θ)² = (√2 cos θ)²

cos² θ + sin² θ + 2 sin θcos θ = 2 cos ²θ 

cos² θ – sin² θ = 2 sin θcos θ 

(cos θ + sin θ)(cos θ – sin θ) = 2 sin θcos θ 

(cos θ – sin θ) = 2 sin θcos θ/(cos θ + sin θ)

cos θ – sin θ = 2 sin θcos θ/√2 cos θ               {cos θ + sin θ = √2 cos θ}

cos θ – sin θ = √2 sin θ 

Hence proved

Вопрос 2: Исключите тета из уравнения: tan θ – cot θ = a и cos θ + sin θ = b

Решение:

tan θ – cot θ = a ………. (1)

cos θ + sin θ = b ………. (2)  

Squaring both sides of (eq2) we get,  

(cos θ + sin θ)² = (b)²

cos² θ + sin² θ + 2cos θ sin θ = b²                                        {sin² θ  + cos² θ = 1}

1 + 2 cos θ sin θ  = b²

2 cos θ sin θ = b² – 1 ………. (3)  

Again, from (1)

We get, (sin θ/cos θ) – (cos θ/sin θ) = a  

(sin² θ – cos² θ)/(cos θ sin θ) = a  

sin²θ – cos²θ = a sin θ cos θ

(sin θ + cos θ) (sin θ – cos θ) = a ∙ (b² – 1)/2                       ……….          [by (3)]

b(sin θ – cos θ) = (½) a (b² – 1)                                       [by (2)]  

b² (sin θ – cos θ)² = (1/4) a² (b² – 1)2                            [Squaring both the sides]  

b² [(sin θ + cos θ)² – 4 sinθ cos θ] = (1/4) a² (b² – 1)2

b² [b² – 2 ∙ (b² – 1)] = (1/4) a² (b² – 1)2                                  [from (2) and (3)]  

4b² (2 – b²) = a² (b² – 1)2

which is the required θ-eliminate.