Если un = cosnθ + sinnθ, то докажите, что 2u6 – 3u4 + 1 = 0
Тригонометрия — это дисциплина математики, изучающая отношения между длинами сторон и углами прямоугольного треугольника. Тригонометрические функции, также известные как гониометрические функции, угловые функции или круговые функции, — это функции, которые устанавливают связь между углом и отношением двух сторон прямоугольного треугольника. Шесть основных тригонометрических функций — это синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс.
Trigonometric angles are the Angles defined by the ratios of trigonometric functions. Trigonometric angles represent trigonometric functions. The value of the angle can be anywhere between 0-360°.
Как показано на рисунке выше в прямоугольном треугольнике:
- Гипотенуза: Сторона, противоположная прямому углу, является гипотенузой. Это самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике, противоположная углу 90 °.
- Основание: Сторона, на которой лежит угол С, называется основанием.
- Перпендикуляр: это сторона, противоположная рассматриваемому углу C.
Тригонометрические функции
Тригонометрия имеет 6 основных тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс. Теперь давайте рассмотрим тригонометрические функции. Шесть тригонометрических функций следующие:
- sine: the ratio of perpendicular and hypotenuse is defined as sine and It is represented as sin θ
- cosine: the ratio of base and hypotenuse is defined as cosine and it is represented as cos θ
- tangent: the ratio of sine and cosine of an angle is defined as tangent. Thus the definition of tangent comes out to be the ratio of perpendicular and base and is represented as tan θ
- cosecant: It is the reciprocal of sin θ and is represented as cosec θ.
- secant: It is the reciprocal of cos θ and is represented as sec θ.
- cotangent: It is the reciprocal of tan θ and is represented as cot θ.
Согласно приведенному выше изображению, тригонометрические отношения равны
- sin θ = Перпендикуляр / Гипотенуза = AB/AC
- косинус θ = основание / гипотенуза = BC / AC
- касательная θ = перпендикуляр / основание = AB / BC
- пересечение θ = гипотенуза / перпендикуляр = AC/AB
- пересекаются θ = гипотенуза / основание = AC/BC
- тангенс θ = основание / перпендикуляр = BC/AB
Взаимные тождества
sin θ = 1/ cosec θ OR cosec θ = 1/ sin θ
cos θ = 1/ sec θ OR sec θ = 1 / cos θ
cot θ = 1 / tan θ OR tan θ = 1 / cot θ
cot θ = Cos θ / sin θ OR tan θ = sin θ / cos θ
tan θ.cot θ = 1
Значения тригонометрических отношений
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | |
|---|---|---|---|---|---|
| Грех θ | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| Кос θ | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| Тан θ | 0 | 1√3 | 1 | √3 | НЕ ОПРЕДЕЛЕНО |
| сек θ | НЕ ОПРЕДЕЛЕНО | 2 | √2 | 2/√3 | 1 |
| Косек θ | 1 | 2/√3 | √2 | 2 | НЕ ОПРЕДЕЛЕНО |
| Детская кроватка θ | НЕ ОПРЕДЕЛЕНО | √3 | 1 | 1/√3 | 0 |
Тригонометрические тождества дополнительных и дополнительных углов
- Дополнительные углы: Пара углов, сумма которых равна 90°.
Тождества дополнительных углов:
sin (90° – θ) = cos θ
cos (90° – θ) = sin θ
tan (90° – θ) = cot θ
cot (90° – θ) = tan θ
sec (90° – θ) = cosec θ
cosec (90° – θ) = sec θ
- Дополнительные углы: Пара углов, сумма которых равна 180°.
Тождества дополнительных углов:
sin (180° – θ) = sin θ
cos (180° – θ) = – cos θ
tan (180° – θ) = – tan θ
cot (180° – θ) = – cot θ
sec (180° – θ) = – sec θ
cosec (180° – θ) = – cosec θ
Вопрос: Если un = cos n θ + sin n θ, то докажите, что 2u 6 – 3u 4 + 1 = 0.
Решение:
Here we have:
un = cosnθ+sinnθ
To prove : 2u6 – 3u4 + 1 = 0
Lets n = 6
So, un = cosnθ+sinnθ
u6 = cos6θ+sin6θ
u6 = (cos2θ)3+ (sin2θ) 3
u6 = (cos2θ +sin2θ)3− 3(cos 2θ)(sin 2θ)(cos 2θ+sin 2θ)
u6 =1−3cos2θ sin2θ ……. (1) { cos2θ +sin2θ = 1 }
Now let n = 4
u4 = cos4θ + sin4θ
u4 = (cos2θ)2 + (sin2θ)2
u4 = (cos2θ + sin2θ) 2−2(cos 2θ)(sin 2θ) { cos2θ +sin2θ = 1 }
u4 = 1− 2cos2θsin2θ ……. (2)
Now to prove
2u6 – 3u4 + 1 = 0
Put values from equations (1) and (2).
So,
2u6 – 3u4 + 1 = 0
= 2(1−3cos 2θ sin 2θ) − 3(1−2cos 2θsin 2θ)+1
= 2 − 6cos2θ sin2θ − 3 + 6cos2θ sin2θ)+1
= 2 -3 +1
= 0
Therefore 2u6 – 3u4 + 1 = 0
Hence proved
Похожие вопросы
Задача 1: Если cos θ + sin θ = √2 cos θ, доказать, что cos θ – sin θ = √2 sin θ?
Решение:
Here we have
cos θ + sin θ = √2 cos θ
Squaring both the sides
(cos θ + sin θ)2 = (√2 cos θ)2
cos2 θ + sin2 θ + 2 sin θcos θ = 2 cos 2θ
cos2 θ – sin2 θ = 2 sin θcos θ
(cos θ + sin θ)(cos θ – sin θ) = 2 sin θcos θ
(cos θ – sin θ) = 2 sin θcos θ/(cos θ + sin θ)
cos θ – sin θ = 2 sin θcos θ/√2 cos θ {cos θ + sin θ = √2 cos θ}
cos θ – sin θ = √2 sin θ
Hence proved
Задача 2: Докажите, что (cos θ sec θ)/cot θ = tan θ.
Решение:
Here we have
cos θ sec θ / cot θ = tan θ
Therefore,
{ cos θ sec θ }/ cot θ = tan θ
By taking L.H.S
cos θ sec θ / cot θ
we can write cos θ sec θ as 1
= (cos θ sec θ )/cot θ
= 1/cot θ {cos θ = 1/ sec θ therefore Cos θ Sec θ = 1}
= tan θ {tan θ = 1 / cot θ }
Therefore LHS = RHS
{cos θ sec θ}/ cot θ = tan θ
Hence Proved
Задача 3: доказать {(cot A + cosec A – 1) / (cot A – cosec A + 1)} = {(1 + cos A) / sin A}?
Решение:
We have
To prove : {(cot A + cosec A – 1) / (cot A – cosec A + 1)} = {(1 + cos A) / sin A}
First LHS = {(cot A + cosec A – 1) / (cot A – cosec A + 1)}
= {(cot A + cosec A ) – ( cosec2 A – cot2A ) } / {(cot A – cosec A) + 1} { cosec2 A – cot2A = 1 }
= {( cosec A + cot A ) – ( cosec A + cot A )( cosec A – cot A ) } / (cot A – cosec A + 1 )
= {( cosec A + cot A ) [ 1 – ( cosec A – cot A ) ] } / (cot A – cosec A + 1 )
= {( cosec A + cot A ) ( cot A – cosec A + 1 )} / (cot A – cosec A + 1 )
= cosec A + cot A
= (1 / sin A) + (cos A / sin A)
= (1 + cos A) / sin A
= RHS
Hence Proved
Задача 4. Если sin θ + cos θ = √2, то докажите, что tan θ + cot θ = 2
Решение:
We have sin θ + cos θ = √2
Squaring both sides
(sin θ + cos θ)2 = (√2 )2
sin2 θ + cos2 θ + 2 sin θcos θ = 2
1 + 2 sin θcos θ = 2 {sin2 θ + cos2 θ = 1}
2 sin θcos θ = 2 – 1
2 sin θcos θ = 1
2 sin θcos θ = sin2 θ + cos2 θ
Divide both sides by sin θcos θ
2 sin θcos θ / sin θcos θ = (sin2 θ + cos2 θ) / sin θcos θ
2 = (sin2 θ / sin θcos θ) + (cos2 θ / sin θcos θ)
2 = (sin θ / cos θ) + (cos θ / sin θ)
2 = tan θ + cot θ
Hence proved, tan θ + cot θ = 2.