Если (1 + cos A)(1 + cos B)(1 + cos C) = (1 – cos A)(1 – cos B)(1 – cos C), то докажите, что каждая сторона равна ± sin A sin B sin С

Тригонометрия — это дисциплина математики, изучающая отношения между длинами сторон и углами прямоугольного треугольника. Тригонометрические функции, также известные как гониометрические функции, угловые функции или круговые функции, — это функции, которые устанавливают связь между углом и отношением двух сторон прямоугольного треугольника. Шесть основных тригонометрических функций — это синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс или косеканс.

Тригонометрические углы

Углы, определяемые соотношениями тригонометрических функций, известны как тригонометрические углы. Тригонометрические углы представляют собой тригонометрические функции. Значение угла может находиться в диапазоне от 0 до 360°.

Как показано на рисунке выше, в прямоугольном треугольнике

• Гипотенуза: Сторона, противоположная прямому углу, является гипотенузой. Это самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике, противоположная углу 90 °.
• Основание: Сторона, на которой лежит угол С, называется основанием.
• Перпендикуляр: это сторона, противоположная рассматриваемому углу C.

Тригонометрические функции

Тригонометрия имеет 6 основных тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс. Теперь давайте рассмотрим тригонометрические функции. Шесть тригонометрических функций следующие:

• Синус: определяется как отношение перпендикуляра к гипотенузе и представляется как sin θ
• Косинус: определяется как отношение основания к гипотенузе и представляется как cos θ
• Тангенс: определяется как отношение синуса и косинуса угла. Таким образом, приходит определение тангенса. представляет собой отношение перпендикуляра к основанию и представляется как тангенс θ
• Косеканс: это величина, обратная sin θ, и представлена как cosec θ.
• Секанс: это величина, обратная cos θ, и представлена как sec θ.
• Котангенс: это величина, обратная тангенсу θ, и обозначается как cot θ.

Согласно изображению выше, тригонометрические отношения равны:

1. Если θ = Перпендикуляр / Гипотенуза = AB/AC
2. Косинус θ = основание / гипотенуза = BC/AC
3. Тангенс θ = Перпендикуляр / Основание = AB/BC
4. Пересечение θ = Гипотенуза / Перпендикуляр = AC/AB
5. Разрез θ = гипотенуза / основание = AC/BC
6. Тангенс θ = основание / перпендикуляр = BC/AB

Взаимные тождества

1. Sin θ = 1/ Cosec θ ИЛИ Cosec θ = 1/ Sin θ
2. Cos θ = 1/Сек θ ИЛИ Сек θ = 1/Cos θ
3. Детская кроватка θ = 1 / Tan θ ИЛИ Tan θ = 1 / Детская кроватка θ
4. Cot θ = Cos θ / Sin θ ИЛИ Tan θ = Sin θ / Cos θ
5. Тан θ × Кот θ = 1

Значения тригонометрических отношений

Тождества дополнительных углов

• sin (90° – θ) = cos θ
• cos (90° – θ) = sin θ
• загар (90° – θ) = кроватка θ
• кроватка (90° – θ) = тангенс θ
• сек (90° – θ) = cosec θ
• cosec (90° – θ) = сек θ

Тождества дополнительных углов

• sin (180° – θ) = sin θ
• cos (180° – θ) = – cos θ
• тангенс (180° – θ) = – тангенс θ
• кроватка (180° – θ) = – кроватка θ
• сек (180° – θ) = – сек θ
• cosec (180° – θ) = – cosec θ

Квадранты тригонометрии

Если (1 + cos A)(1 + cos B)(1 + cos C) = (1 – cos A)(1 – cos B)( 1 – cos C), то докажите, что каждая сторона = ± sin A sin B sin С.

Решение:

(1 + cos A)(1 + cos B)(1 + cos C) = (1 – cos A)(1 – cos B)(1 – cos C)

Multiplying both sides of the equation by (1 – cos A)(1 – cos B)(1 – cos C), 

[(1 + cos A)(1 – cos A)(1 + cos B)(1 – cos B)(1 + cos C)(1 – cos C)] = [(1 – cos A)²(1 – cos B)²(1 – cos C)²]

[(1 – cos²A)(1 – cos²B)(1 – cos²C)] = [(1 – cos A)(1 – cos B)(1 – cos C)]²

sin² A sin² B sin² C = [(1 – cos A)(1 – cos B)(1 – cos C)]²

[sin A sin B sin C]² = [(1 – cos A)(1 – cos B)(1 – cos C)]²

sin A sin B sin C = (1 – cos A)(1 – cos B)(1 – cos C)

Hence proved

Похожие проблемы

Вопрос 1: Если sin (A – B) = 1/2, cos (A + B) = 1/2 и 0° < A + B ≤ 90°, A > B, то найдите значения A и B.

Решение:

sin(A – B) = 1/2

Sin(A – B) = sin (30° ) ⇢ [sin (30° ) = 1/2]

Equate both the sides,

So, A – B = 30°  ⇢ (1)

And, cos(A + B) = 1/2

⇒ cos(A + B) = cos (60° ) ⇢ [cos (60° ) = 1/2]

By equating both the sides,

A + B = 60°  ⇢ (2)

Adding equation (1) and (2),

2A = 90° 

⇒ A = 45° 

Now, here Putting the value of A in Equation (2),

45° + B =60° 

B = 15^o

Hence, the value of  A = 45° and B = 15°

Вопрос 2: Оценить (Sin 45° – Sin 90° + 2Cos 0°) / Tan 30° Tan 60°?

Решение:

Here (Sin 45° – Sin 90° + 2 Cos 0°) / Tan 45° Tan 60°

As per the trigonometric values,

(Sin 45° – Sin 90° + 2 Cos0°) / Tan 45° Tan 60°

= (1/√2 – 1 + 2 × 1) / 1 × √3

= (1/√2 – 1 + 2) / √3

= (1/√2 + 1) / √3

= (1 + √2 / √2) / √3

Вопрос 3: Каково точное значение cos 270°?

Решение:

Here cos is positive only in 1st and 4th Quadrant.

270° lies in 3rd Quadrant.

Therefore, cos(360° – θ) = – cos θ

cos(270°) =  cos(360° – 90°)

cos(270°) = -cos(90°)                  

cos (270°) = 0 {as per the trigonometry value table}  

So the exact value of cos 270° is 0.