Элементы ПОСЕТ

Предпосылка: Введение и типы отношений

POSET , известный как частично упорядоченный набор , работает по принципу отношения частичного порядка. Отношение R называется частично упорядоченным отношением , если оно может удовлетворять следующим свойствам:

1. р является рефлексивным , т. е. если множество A = {1,2,3}, то R = {(1,1), (2,2), (3,3)} является рефлексивным отношением.
2. R является антисимметричным , т. е. если R содержит (1,2), то (2,1) не допускается.
3. R транзитивен , т. е. если R содержит (1,2), (2,3), то он должен содержать (1,3), чтобы сделать его транзитивным.

POSET: If A set ‘A’ following a Partial Ordering Relation ‘R’ then it is known as POSET. It is denoted by [A; R].

Примечание. В отличие от асимметрии, антисимметрия допускает рефлексивные элементы, такие как (a, a) или (b, b) в отношении.

Example 1: For a set A = {1,2,3}, check if the following relations are POSET ?

R₁= {(1,1), (2,2), (3,3)}

R₂= {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)}

R₃= { }

Explanation: To prove a Partial Order Relation, check Reflexivity, Anti-Symmetry and Transitivity.

(1,1)	(1,2)	(1,3)
(2,1)	(2,2)	(2,3)
(3,1)	(3,2)	(3,3)

R₁⇒  Reflexive: Since (1,1) (2,2) (3,3) are present so it is Reflexive.

         Anti-symmetry: It allows reflexive pairs, so it is Anti-symmetric.

         Transitive: Reflexive pairs are always Transitive.

R₂⇒  Reflexive: Since (1,1) (2,2) (3,3) are present so it is Reflexive.

         Anti-symmetry: For (1,2) there is (2,1) so not Anti-symmetric.

         Transitive: There are no such pairs (a,b) (b,c) such that (a,c) is not present.

R₃⇒ Reflexive: NULL sets doesn’t contain either of (1,1) (2,2) (3,3).

Therefore, R₁ is a POSET, but R₂ and R₃ are not.

Элементы ПОСЕТ

Максимальный элемент: если в POSET/решетке элемент не связан ни с каким другим элементом. Или, проще говоря, это элемент без исходящего (восходящего) ребра. На приведенной выше диаграмме A, B, F — максимальные элементы.

Минимальный элемент: если в POSET/решетке ни один элемент не связан с элементом. Или, проще говоря, это элемент без входящего (нисходящего) ребра. На приведенной выше диаграмме C, D, E — минимальные элементы.

Максимальный элемент (наибольший): если в POSET/решетке это максимальный элемент, и каждый элемент связан с ним, т. е. каждый элемент решетки должен быть связан с этим элементом. На приведенной выше диаграмме E и F — максимальные элементы, но E — единственный максимальный элемент.

Минимальный элемент (наименьший): если в POSET/решетке, это минимальный элемент и связан с каждым другим элементом, т. е. он должен быть связан с каждым элементом решетки. На приведенной выше диаграмме A и B являются минимальными элементами, но A является единственным минимальным элементом.

Примечание:

• Каждый максимальный элемент является максимальным элементом, но каждый максимальный элемент не является максимальным элементом
• Каждый минимальный элемент является минимальным элементом, но каждый минимальный элемент не является минимальным элементом.

Верхняя граница

Предположим, что B является подмножеством множества A. Элемент x ∈ A находится в верхней границе B, если (y,x) ∈ POSET, где V y ∈ B. Или мы можем сказать, что это элемент, которому соответствует каждый элемент множества подмножество связано.

1. B = {E,C}: верхняя граница-{G, E} (E сама может быть верхней границей, потому что частичный порядок следует рефлексивному свойству)
2. B = {C, F, D}: верхняя граница - {G, H, F}

Нижняя граница

Если B является подмножеством множества A, элемент x ∈ A находится в нижней границе B, если (x,y) ∈ POSET, где V y ∈ B. Или мы можем сказать, что это элемент, который связан / связан с каждый элемент подмножества B.

1. B = {E,C} : Нижняя граница-{A,B,C} ( C сама может быть нижней границей, потому что частичный порядок следует рефлексивному свойству)
2. B = {C, F, D} : нижняя граница- { ∅ }

Наименьшая верхняя граница

Также известен как Присоединяйтесь . Минимальный (наименьший) элемент в верхней границе.

1. B = {C,D}: наименьшая верхняя граница-{E}
2. B = {A,B}: наименьшая верхняя граница-{D}
3. B = {E,F} : наименьшая верхняя граница- { ∅ }

Наибольшая нижняя граница

Также известен как Знакомство . Максимальный (наибольший) элемент в нижней границе.

1. B = {C,D}: наименьшая верхняя граница-{A}
2. B = {A,B} : наименьшая верхняя граница- { ∅ }
3. B = {E,F}: наименьшая верхняя граница-{D}