Докажите, что квадрат любого натурального числа либо кратен трем, либо на единицу больше, чем кратен 3.

Система счисления — это система представления чисел с использованием символов и цифр в определенном порядке. Можно думать об этом как о учебнике по грамматике по математике. Как только слышишь это слово «Число» 1,2,3,…. получить поп в голову сразу. Система счисления определяет их значение, выполняемые операции и другие свойства. Каждый номер уникален. Он имеет множество вариаций. Таким образом, его можно рассматривать как натуральное число, целое число, четное число, нечетное число, простое число, составное число и т. д.

1. Натуральное число — содержит числа, начинающиеся с 1.
2. Целое число — содержит числа, начинающиеся с 0.
3. Четное число – числа, которые делятся на 2.
4. Нечетное число – числа, которые не делятся на 2.
5. Простое число — числа, которые делятся только на 1 и на себя. т.е. только два фактора.
6. Составное число – числа, которые делятся на 1, на себя и на другие. т.е. более двух факторов.

Алгебра

Алгебра — это раздел математики, в котором особое внимание уделяется использованию различных символов и математических операций, которые можно с ними выполнять. В алгебре такие символы, как алфавиты, используются как a, b, c или x и многие другие, значение которых не определено заранее. Их значение не является фиксированным, поэтому они называются переменными. Можно объявить любое количество переменных и определить для них конкретное значение. Этими символами или переменными можно управлять с помощью арифметических операций, таких как сложение, вычитание, умножение и деление. Давайте рассмотрим одно приложение алгебры — алгебраическое выражение.

Алгебраическое выражение состоит из коэффициентов, терминов, переменных, констант и т. д., и люди должны определить значение неизвестной переменной с помощью математических операций.

Натуральные числа

Натуральные числа — это счетные числа, начинающиеся от 1 до бесконечности. Они используются для целей счета. например 1,2,3,4,…. , натуральные числа. По сути, натуральные числа являются неотъемлемой частью системы действительных чисел.

However, Natural numbers doesn’t include zero, fraction, decimal, negative numbers.

Набор натуральных чисел обозначается N так, что N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,….}.

Используйте алгебру, чтобы доказать, что квадрат любого натурального числа либо кратен 3, либо на единицу больше, чем кратен 3.

Решение:

Suppose, we have a natural number  N.

Consider three cases where N is in form of  3*N, 3*N+1, 3*N+2.

Squaring, we get

• The square of 1st term is 9N²  which is a multiple of 3.
• Square of 2nd term is:

9N² + 6N +1 = 3(3N² + 2N) + 1 which is one more than a multiple of 3.

• Square of 3rd term is:

9N² + 12N + 4 =  9N² +12N + 3 + 1 = 3(3N² + 4N + 1) +1 which is one more than multiple of 3.

Hence, it can be said that for N²  to be multiple of 3, N should be in form of 3N, 3N+1, 3N+2, and so on.

Example:

Square Number	Remainder when divided by 3
22 = 4 = 3 × 1 + 1	1
32 = 9 = 3 × 3 + 0	0
42 = 16 = 3 × 5 + 1	1
52 = 25 = 3 × 8 + 1	1
62 = 36 = 3 × 12 + 0	0
72 = 49 = 3 × 16 + 1	1

Hence, the square of any natural number is either a multiple of 3 or one more than a multiple of 3.

Похожие проблемы

Вопрос 1: Докажите, что сумма двух последовательных квадратных чисел нечетна?

Решение:

Let us assume that N and N + 1 are two consecutive numbers where N is any integer.

We have to determine their sum. So,

Sum = N² + (N + 1)² = N² + N² + 2N + 1 = 2N² + 2N + 1 = 2(N² + N) +1

The definition of odd number is one more than multiple of 2.

 The sum is one more than multiple of 2. So, their sum is odd.

Example:

Input N = 2 and N + 1 = 3

Output 2² + 3² = 4+ 9 = 13

Conclusion The sum is odd.

Вопрос 2: Докажите, что если m не является квадратом натурального числа, то √m иррационально.

Решение:

Let m be any positive integer such that there is no m = x² where x is an integer.

We assume that √m is a rational number. Then it can be written as:

√m = p/q  ⇢ (1)

Where p and q have no common factor other than 1.

Squaring both sides of Equation (1)

m = p² / q².

Since n is a positive integer and p and q have no common factor besides (1). Let q = 1.

m = p² 

This result is contradictory to our assumption that m is not a square of a number. Hence, √m is irrational.

Вопрос 3: Докажите, что если n — натуральное число, то √n — иррациональное или натуральное число.

Решение:

Let n be any natural number.

Case 1: n is a perfect square (1, 4, 9, 16, etc.)

Natural number (n)	The root of a number (√n)	Definition of √n
1	1	Well – defined
4	2	Well – defined
9	3	Well – defined
36	6	Well – defined

Hence, √n is a natural number.

Case 2: n is not a perfect square (√2, √3, √7, etc.)

Natural number(n)	The root of a number(√n)	Definition of √n
2	√2	Not Well – defined
3	√3	Not Well – defined
7	√3	Not Well – defined
19	√19	Not Well – defined

Hence, √n is an irrational number.

Conclusion √n is either a natural number or an irrational number.

Вопрос 4: Докажите, что произведение двух совершенных квадратных чисел также является совершенным квадратом.

Решение:

Let p and q be any two positive integers.

Since both p and q are perfect squares, we can write

p = a²

q = b²

Where a and b are any two integers.

p × q = a² × b² = (a × a) × (b × b) = (a × b) × (a × b) = (ab) × (ab) = (ab)²

Hence, The result is a perfect square of ab.

Conclusion The product of two perfect square numbers is also perfect square.

Example:

Input p=4 and q=9

Output pq= 4*9 = 36 =6²

Which is a perfect square.