Доказательство: почему не существует рационального числа, квадрат которого равен 2?
Эта статья посвящена обсуждению доказательства того, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Прежде чем приступить к доказательству, давайте познакомимся с основными терминами:
Рациональные числа :
Число, которое может быть выражено в виде p/q, где p и q — целые числа, а q ≠ 0, называется рациональным числом. Примеры: 0, 1, -1, 5/2 и т. д.
Постановка задачи:
Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.
Решение:
Приступим к доказательству приведенной выше постановки задачи. Доказательство в этой статье будет проводиться с использованием математической техники, которая называется «Доказательство от противного».
Доказательство от противного-
Это математический метод, в котором сначала делается предположение о том, что утверждение, которое необходимо доказать, является ложным, а затем выводится результат, используя ложное утверждение, которое оказывается противоречащим либо предположению, либо любому другому общеизвестному математическому результату. . Таким образом, доказывая справедливость предложения. Вот почему этот метод известен как доказательство от противного.
Доказательство-
В этом доказательстве используется техника Доказательства от противоречия, где сначала предполагается, что существует рациональное число, квадрат которого равен 2, а затем на основе этого предположения выводится результат, который окажется противоречащим нашему предположению. Так. Начнем с доказательства -
1. Предположим, что существует рациональное число X = p/q, квадрат которого равен 2, такое, что p и q имеют простейшую форму, т. е. не имеют общего делителя.
X2 = 2 (Assumption) (p/q)2 = 2 (Since X is a rational number)
2. Это означает,
p2/q2 = 2 p2 = 2q2 ---(1)
3. Из приведенного выше уравнения можно сказать, что p 2 является четным целым числом, поскольку его можно выразить в виде 2k, где k = q 2 . Теперь известно, что квадрат нечетного целого числа всегда нечетен, а это означает, что p не может быть нечетным целым числом, поэтому p также является четным целым числом. Следовательно, p может быть выражено в виде 2k, где k — некоторое целое число, т.е.
p = 2k, for some integer k ---(2)
3. Теперь, после подстановки значения p из уравнения (2) в уравнение (1), получается следующее уравнение:
(2k)2 = 2q2 4k2 = 2q2 ---(3)
3. Разделив обе части на 2, в уравнении (3) получается следующее уравнение:
2k2 = q2 q2 = 2k2 ---(4)
4. Опять же, можно сказать, что q 2 — четное целое число, а поскольку известно, что квадрат нечетного целого числа всегда нечетен, то q не может быть нечетным целым числом. Отсюда следует, что q также является четным целым числом.
5. Теперь из приведенного выше обсуждения можно заключить, что p и q оба являются четными целыми числами, т. е. они имеют общий делитель не менее 2, но это утверждение противоречит предположению в начале этого доказательства, что p и q находятся в их простейшая форма, т.е. они не имеют общего делителя.
Это противоречие означает, что предположение о существовании рационального числа X = p/q, квадрат которого равен 2, такого, что p и q имеют простейшую форму, неверно . Таким образом, доказывается, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.