Что такое треугольник?

В математике существует множество форм и размеров, и треугольники, как известно, являются одной из самых важных фигур. Треугольники в реальной жизни можно увидеть во многих вещах, например, в сигналах светофора, виде спереди и сзади пирамид, Бермудском треугольнике и т. д. Треугольники действительно важны, поскольку они имеют основу для поддержки и могут использоваться в строительстве оснований и фермы.

Определение

Треугольники представляют собой трехсторонний замкнутый многоугольник, образованный пересечением трех прямых. В повседневной жизни встречается очень часто. Это одна из основных фигур геометрии. У него три стороны, три угла и три вершины. Мы ежедневно сталкиваемся с тремя типами треугольников: равносторонним треугольником, равнобедренным треугольником и разносторонним треугольником. На рисунке ниже показан треугольник ABC с вершинами и углами A, B и C. Стороны этого треугольника равны AB, AC и BC.

Свойства треугольников:

• The sum of all the angles of a Triangle is 180°
• The sum of any two sides of a Triangle will always be greater than the third.
• The difference of any two sides will always be smaller than the third side. (this can be easily deduced by previous property).
• The side which is present opposite to the greatest angle is longest in all three sides.
• The side which is present opposite to the smallest angle is shortest in all three sides. (similar to previous property).
• According to the Exterior Angle property of the triangle, The exterior angle is equal to the sum of the opposite interior angles.

Типы треугольников

Треугольники делятся на две категории: одна по стороне, а другая по углу. По сторонам треугольники делятся на равнобедренные, равнобедренные и разносторонние. По величине угла треугольники делят на остроугольные, тупоугольные, прямоугольные и треугольные.

На основе стороны треугольника

• Равносторонний треугольник

Triangles having all sides and all angles equal are known as equilateral triangle. Since, all the angles are equal, each angle is equal to 60° and the other name of equilateral triangle is Equiangular triangle.

• Равнобедренный треугольник

The triangles having two sides equal and the third one is not equal to the rest two. The angles opposite to the equal sides of the triangle are also equal.

• Неравносторонний треугольник

A Scalene triangle is the one which has none of its sides equal to each other and also, none of the angles are equal to each other, but the general properties of the triangle are applied to scalene triangle as well. Hence, the sum of all the interior angles are always equal to 180°

На основе угла треугольника

• Остроугольный треугольник

An Acute angled Triangle is the one where all the interior angles of the Triangle is less than 90°. For Instance, an Equilateral Triangle is an acute angled triangle (all angles are less than 90°).

An Acute angled triangle

• Прямоугольный треугольник

A Right Angled Triangle is the one where one of the angles is always equal to 90°. Pythagoras Theorem is derived for Right angled triangles, Which states that the square of the hypotenuse (the longest side) is equal to the sum of the squares of base and perpendicular.

A right-angled triangle

• Тупоугольный треугольник

An obtuse angled triangle has one of the sides more than 90°, In this case, since one of the three angles is more than 90°, the rest of the two angles is less than 90°.

An obtuse angled triangle

Медиана треугольника

Медиана делит сторону на две равные части. В контексте треугольников срединная линия от одной вершины до противоположной стороны делит сторону на две части. Каждый треугольник имеет три медианы, исходящие из каждой вершины. На рисунке ниже показана медиана от вершины A до стороны BC. Обратите внимание, что медиана не обязательно должна быть перпендикулярна, но она определенно должна делить пополам противоположную сторону.

Свойства медианы треугольника:

1. Три медианы любого треугольника всегда сходятся в одной точке, независимо от формы треугольника. Точка, в которой сходятся все три медианы треугольника, называется центроидом.

2. Медиана треугольника делит треугольники на две меньшие части, имеющие равные площади.

3. Допустим, длины сторон треугольника равны «a», «b» и «c», а длины медиан равны l ₁ , l ₂ и l ₃ .

а ² + б ² + с ² = л ² ₁ + л ² ₂ + л ² ₃

Сумма углов треугольника

Многоугольники с четырьмя сторонами называются четырехугольниками, а сумма их углов равна 360°. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°. Эти свойства являются фактами и применяются для всех типов четырехугольников и треугольников. Это называется свойством суммы углов. В разделе представлено доказательство этого свойства.

Consider the given triangle ABC, in any triangle the sum of all of its angles is 180°. In the given triangle, 

∠A + ∠B + ∠C = 180°

Proof: 

In the figure below, draw a line through A which is parallel to BC. Now, these angles are alternate angles which are equal. Thus, from the figure you can see, 

∠A + ∠B + ∠C = 180°

Примеры проблем

Вопрос 1: треугольник ABC имеет ∠A = 60°, ∠B = 60°. Найдите угол ∠C.

Решение:

We know that sum of the angles in the triangle is 180°. 

∠A + ∠B + ∠C  = 180°

⇒ ∠A + ∠B + ∠C  = 180°

⇒ 60 + 60 + ∠C = 180°

⇒ 120° + ∠C = 180°

⇒ ∠C = 60°

Вопрос 2: Найдите недостающий угол на данной фигуре.

Решение:

Let the two missing angles be x and y. Now we can see in the figure that opposite sides of the missing angles are equal in length. That means that the angles must be equal. 

So, x = y.

From the angle sum property of the triangle. 

x + y + 100° = 180°

⇒ 2x + 100°  = 180°

⇒ 2x = 80°

⇒ x = 40°

Вопрос 3: Найдите значение ∠ACD по заданной фигуре.

Решение:

We know that, ∠ACB and ∠BCD are supplementary angles. 

From the angle sum property of the triangle, 

∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ 45° + 30° + ∠C = 180°

⇒ 75° + ∠C = 180°

⇒ ∠C = 105°

∠BCD = 180° – 105°

⇒ ∠BCD = 75°

Вопрос 4: В заданном треугольнике PQR найдите значение ∠PSQ.

Решение:

Considering triangle QSR. 

∠SRQ = ∠SQR 

⇒ ∠SQR = 40°  

Due to angle sum property of the triangle. 

∠SQR + ∠SRQ + ∠QSR = 180°

⇒ 40° + 40° + ∠QSR = 180°

⇒ 80° + ∠QSR = 180°

⇒ ∠QSR = 100°

We know, 

∠QSR + ∠QSP = 180°

⇒ ∠QSP + 100° = 180°

⇒ ∠QSP = 80°

Вопрос 5: В треугольнике ABC углы относятся как 1:2:3. Найдите значения всех углов.

Решение:

The interior angles are in the ratio 1:2:3. Thus, they also be written as, 

x : 2x: 3x

Using the angle sum property of the triangle. 

x + 2x + 3x  = 180°

⇒ 6x = 180°

⇒ x = 30°

Thus, the angles in are, 

30°, 60° and 90°.