Что такое проблема дня рождения?
Вероятность также известна как возможность. Это означает математику случая, которая торгует вероятным событием. Значение депонируется от нуля до единицы. Было показано, что в математике вероятность или математика случайности позволяют предположить, насколько вероятны события. По сути, вероятность — это масштаб, в котором что-то должно произойти.
Вероятность
Чтобы глубже понять вероятность, возьмем пример с бросанием игральной кости, возможные результаты 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Вероятность возникновения любого из вероятных событий равна 1/6. Поскольку вероятность возникновения любого из событий одинакова, то и шансы получить любое вероятное число одинаковы, в данном случае это либо 1/6, либо 50/3.
Формула вероятности
Probability of an event = {Number of favourable affairs} ⁄ {total number of affairs}
Типы событий
Существуют различные типы результатов, основанные на различных основаниях. Одним из типов событий является равновероятное событие и дополнительное событие. Другой тип события — это невозможное и несомненное событие. Далее идут простые и сложные события. Существуют независимые и зависимые события, взаимоисключающие, исчерпывающие события и т. д. Разберемся в этих событиях подробнее.
- Равновероятные события: после броска кости вероятность выпадения любого равновероятного исхода равна 1/6. Поскольку появление исхода является равновероятным исходом, поэтому существует равная или аналогичная вероятность преобладания любого числа, в данном случае это либо 1/6 при правильном броске костей.
- Дополнительные события : есть шанс или возможность только двух результатов, которые будут происходить или нет. Например, человек будет читать книгу или не читать книгу, уборка кухни или неуборка кухни и т. д. являются примерами дополнительных событий.
- Невозможные и гарантированные события: если вероятность возникновения равновероятной связи равна 0, такие типы событий называются невозможными событиями, а если вероятность возникновения вероятной связи равна 1, такие типы событий известны как гарантированное событие. Другими словами, выборочное пространство S является достоверным событием, а пустое множество ϕ — невозможным событием.
- Простые события: любое событие, переносящее одну точку выборочного пространства, известно как простое событие по вероятности. Например, если S = {34, 28, 89, 47, 88} и E = {69}, это означает, что E — простое событие.
- Составные события : В отличие от простого события, если какое-либо событие содержит более одного пространства выборочного пространства, такое событие называется составным событием. Снова проверяя тот же пример, если S = {34, 28, 89, 47, 88}, E 1 = {34, 47}, E 2 = {28, 34, 88}, тогда E 1 и E 2 показывают два составных События.
- Независимые события и зависимые события : если на возникновение каких-либо событий совершенно не влияет возникновение какого-либо другого результата, такие события известны как независимые события в вероятности, а события, которые претендуют на другие события, известны как зависимые события.
- Взаимоисключающие события : если возникновение одного события препятствует возникновению другого события, такие события являются взаимоисключающими событиями, т. е. два события не имеют общего номера. Например, если S = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} и E 1 , E 2 — два события, такие, что E 1 состоит из чисел меньше 14, а E 2 состоит из чисел больше 17. Итак, Е 1 = {11, 12, 13} и Е 2 = {14, 15, 16, 17}. Тогда E 1 и E 2 являются взаимоисключающими.
- Исчерпывающие события: группа событий называется исчерпывающими событиями, что говорит о том, что одно из них должно произойти.
- События, связанные с «ИЛИ» : Если два события А 1 и А 2 связаны с ИЛИ, то это означает, что либо А 1 , либо А 2 , либо оба. Символ слияния (∪) используется для обозначения ИЛИ в вероятности. Таким образом, событие A 1 UA 2 указывает на A 1 ИЛИ A 2 . Если с выборочным пространством S связаны взаимно исчерпывающие события A 1 , A 2 , A 3 … an, то A1 U A2 U A3 U … An = S
- События, связанные с «И» : Если два события E 1 и E 2 связаны с «И», то это означает, что соединение компонентов аналогично обоим событиям. Символ пересечения (∩) используется для обозначения И в вероятности. Таким образом, событие E 1 ∩ E 2 показывает E 1 и E 2 .
Что такое проблема дня рождения?
Решение:
Let’s understand this example to recognize birthday problem,
There are total 30 people in the room. What is the possibility that at least two people allowance the same birthday or what is the possibility that someone in the room share His / Her birthday with at least someone else,
White color = p(at least someone shares with someone else) or p(s), Green color = p(no one share there birthday everyone has different birthday) or p(d)
p(s) + p(d) = 1 or 100%
p(s) = 100% – p(d)
If there are two person,
Let’s consider, person one, their birthday could be any of 365 days out of 365 days. Now second person could be born on any day that first person was not born on,
So, 365⁄365 (first person birthday) 364⁄365 (second person birthday)
= 365 × 364 ⁄ 3652 = (365! ⁄ (365 – 2)!) ⁄ 3652 = (365! ⁄ 363!) ⁄ 365²
If there are three person,
So, 365⁄365 (first person birthday) 364⁄365 (second person birthday) 363⁄365 (third person)
= 365 × 364 × 363 ⁄ 3653 = (365! ⁄ (365 – 3)!) ⁄ 3653 = (365! ⁄ 362!) ⁄ 3653
Similarly, if there are 30 people in the room, the possibility that no one shares his/her birthday,
= 365 × 364 × 363 × …… × 336 ⁄ 36530 = (365! ⁄ (365 – 30)!) ⁄ 36530
= (365! ⁄ 335!) ⁄ 36530 = .2936 or 29.36%
p(d) = .2936 or 29.36%
p(s) = 100% – p(d)
= 100% – 29.36% or 1 – .2936
= .7063 ≈ 70.6%
Похожие проблемы
Вопрос 1: Монету подбрасывают 5 раз. Какова вероятность того, что выпадет ровно 4 орла?
Отвечать:
Formula: b(x; n, P) – nCx × Px × (1 – P)n – x
The number of trials (n) is 5
There are two possibility either head or tail, A coin (“tossing a heads”) is 0.5 (So, 1 – p = 0.5)
x = 4
P(x = 4) = 5C4 × 0.54 × 0.51 = 5 × 0.0625 × 0.5 = 0.15625
Вопрос 2: 80% людей, которые покупают автомобиль, — женщины. Если случайным образом выбрано 9 автовладельцев, найдите вероятность того, что среди них ровно 6 женщин.
Решение:
Here, n = 9, x = 6.
Formula: b(x; n, P) – nCx × Px × (1 – P)n – x
Now apply nCx (First, part of the formula)
nCx = n! / (n – X)! X!
Substitute the variables,
9! / ((9 – 6)! × 6!)
Which equals 84. Now keep this integer to one side. Find p and q. p is the chance of favourable outcome and q is the probability of unfavourable outcome. Given p = 80%, or .8. So the probability of unfavourable outcome is 1 – .8 = .2 (20%).
Now, work on second part of the formula i.e., px
= .86
= .262144
Now keep this integer to one side
Work on third part of the formula.
= q(n – x)
= .2(9 – 6)
= .23
= .008
Multiply the answer from all the three parts i.e., 1, 2, 3.
84 × .262144 × .008 = 0.176.
Вопрос 3: Игральная кость подбрасывается 7 раз, найдите вероятность выпадения «6 точек» ровно 5 раз.
Решение:
The die is thrown 7 times, hence the number of case is n = 7.
In a single case, the result of a “6” has chances p = 1/6 and an result of “no 6” has a chances 1 – p = 1 – 1/6 = 5/6. The chances of having 5 “6” in 7 trials is given by the formula for binomial probabilities above with n = 7, k = 5 and p = 1/6
P(5 heads in 7 trials) = (7C5)(1/6)5(1 – 5/6)7 – 5 = (7C5)(1/6)5(5/6)2
Use formula to calculate,
(7C5) = 7!/5!(7 – 5)! = 21
P(5″6″ in 7 trials) = 21(1/6)5(5/6)2 = 0.00187
Вопрос 4: Какова вероятность того, что выпадет 6 решек, если монету подбросить 10 раз?
Решение:
In a coin-toss trial, there are two results: heads and tails. Suppose the coin is fair , the chances of getting a head is 1/2 or 0.5
The number of replicated cases: n = 10
The number of success cases: x = 6
The possibility of success on individual case: p = 0.5
Use the formula for binomial probability,
10C6 (0.5)6 (1 – 0.5)10 – 6
≈ 0.205
Вопрос 5: Правильная монета подбрасывается 5 раз. Какова вероятность того, что выпадет ровно 3 орла?
Решение:
The coin is thrown 5 times, hence the number of chances is n = 5.
The coin being a fair one, the result of a head in one toss has a chance p = 0.5 and an result of a tail in one toss has a chance 1 – p = 0.5.
The chances of getting 3 heads in 5 cases is given by the formula for binomial probabilities above with n = 5, k = 3 and p = 0.5
P (3 heads in 5 trials) = 5C3(0.5)3(1 – 0.5)5 – 3 = (5C3)(0.5)3(0.5)2
Use formula to calculate,
(5C3) = 5!/3!(5 – 3)! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5/(1 × 2 × 3)(1 × 2) = 10
P (3 heads in 5 trials) = 10(0.5)3(0.5)2 = 0.3125