Что такое формула полураспада?

Формула Half-Life используется для определения времени распада вещества до половины его первоначального значения. Эта формула используется, когда скорость распада вещества в любой момент времени прямо пропорциональна его текущей стоимости или количеству. С течением времени количество оставшегося вещества уменьшается, следовательно, скорость распада также соответственно уменьшается. Этот тип распада известен как распад первого порядка.

Формула полураспада

Формула полураспада в основном используется для расчета периода полураспада радиоактивных веществ, которые распадаются пропорционально их текущему оставшемуся количеству. Таким образом, период полураспада радиоактивных веществ можно определить как время, за которое распадается половина радиоактивного вещества . Важно знать о периоде полураспада, поскольку знание о периодах полураспада позволяет нам определить, безопасно ли обращаться с образцом радиоактивного материала или нет.

Формула:

t_1/2 = 0.693 / λ

Where,

λ = rate constant of the decay

Доказательство:

Let the constant of proportionality of any decay be λ. Then, write the following differential equation:

dN/dt = – λN

Here, N is the quantity / amount of the substance at any time t. Therefore, 

dN/N = – λ dt

Integrating both sides, 

∫dN/N = ∫-λ dt

log_eN |_No^N= – λ t |_o^t

log_eN – log_eN_o = – λt

log_e(N/N_o) = – λt ⇢ (i)

At half-life, the value of N reduces to half of the initial value. Thus,

N = N_o / 2

Putting this value in the above equation,

log_e(1/2) = -λt_1/2

λt_1/2 = log_e2

t_1/2 = log_e2 / λ 

Since, log_e2 = 0.693, 

t_1/2 = 0.693 / λ

Обобщенная формула:

N_t = N_o(1/2)^t/t_1/2

Доказательство:

From equation (i), 

log_e(N/N_o) = – λt

N/N_o = e^-λt

N = N_oe^-λt

Since, t_1/2 = log_e2 / λ, 

λ = log₂2 / t_1/2

Substituting this value, 

N = N_oe^{-log_e2 / t_1/2× t}

N = N_o(e^-log_e2 ) ^{t / t_1/2}

N = N_o(1/2)^t/t_1/2

Примеры проблем

Вопрос 1: Найдите значение периода полураспада вещества, постоянная распада которого равна 1,386 с ^-1 .

Решение:

Given, rate constant λ = 1.386

Thus, the value of the half-life is given as 

t_1/2 = 0.693 / λ = 0.693 / 1.386 = 1/2

t_1/2 = 0.5 secs

Вопрос 2: Найдите значение константы скорости, если период полураспада вещества равен 0,2 с.

Решение:

Given half-life t_1/2 = 0.2 secs

If the rate constant be λ, then 

t_1/2 = 0.693 / λ

λ = 0.693 / t_1/2

λ = 0.693 / 0.2 = 3.465 sec^-1

λ = 3.465 sec^-1

Вопрос 3: Учитывая, что для реакции первого порядка период полураспада в два раза превышает значение константы скорости, найдите значение константы скорости реакции.

Решение:

Let the rate constant be λ.

Then half-life t_1/2 = 2λ

Then, write the half-life equation as:

t_1/2 = 0.693 / λ

2λ = 0.693 / λ

2λ² = 0.693

λ² = 0.3465

λ = √0.3465

λ = 0.5886 sec^-1

Вопрос 4: Найдите значение периода полураспада, если значение константы скорости равно 0,3465 года ^-1 .

Решение:

Given the value fo rate constant λ = 0.3465 yr^-1

The value of the half-life is given by:

t_1/2 = 0.693 / λ

t_1/2 = 0.693 / 0.3465 = 2 years

t_1/2 = 2 years

Вопрос 5: Рассмотрим радиоактивное вещество массой 4 кг и периодом полураспада 2 года. Найдите время, когда стоимость вещества уменьшится до одной четвертой от его текущей стоимости.

Решение:

Given initial mass = 4kg

Using the generalized formula, we can write

N = N_o(1/2)^t/t_1/2

Where,

N = 4/4 = 1kg

N_o = 4kg

t_1/2 = 2 years

Putting the values, 

1 = 4 × (1/2)^t/2

2^t/2 = 4 =2²

t/2 = 2

t = 4 years

So, the time taken by the substance to reduce to one-fourth of its initial value is 4 years.

Вопрос 6: Найдите количество радиоактивного вещества, распавшегося за 4 года, если исходное количество 64 кг, период полураспада вещества 1 год.

Решение:

Given initial mass = 64kgs

The amount of substance remaining is given by the formula,

N = N_o(1/2)^t/t_1/2

Where,

N_o = 64kgs

t_1/2 = 1 year

t = 4 years

Putting the values,

N = 64 × (1/2)^4/1 = 64/16 = 4 kgs

Thus, amount of substance decayed = N_o – N = 64 – 4 = 60kgs