Что такое формула перпендикулярной линии?

Перпендикулярная линия определяется как линия, которая проходит через точку на другой линии, образуя угол 90 ^° с исходной линией. Наклон перпендикулярной линии является отрицательным значением обратной величины наклона исходной линии. Есть два основных свойства относительно перпендикулярных линий, которые выводят формулы, относящиеся к перпендикулярным линиям. Давайте посмотрим на них,

Формула перпендикулярной линии

Существуют свойства, определенные для перпендикулярных линий. Ниже приведены два свойства, они являются произведением наклона и уравнения перпендикулярной линии.

• Произведение наклона перпендикулярной линии на наклон исходной линии всегда равно -1 .

Доказательство:

Lets the original line makes an angle of θ with the X-axis. Then, the line perpendicular to the line will make an angle of θ + 90° or θ – 90° with the X-axis.

Then, the slope of the original line is equal to tanθ.

The slope of the perpendicular line is equal to tan(θ + 90^o) or tan(θ – 90^o). 

Thus, the slope of the perpendicular line is -cotθ.

The product of the slopes = tanθ × (-cotθ) = -1

Hence, the product of the slopes is always equal to -1.

2. Если уравнение исходной прямой есть ax + by + c = 0 , то уравнение перпендикулярной к ней линии есть – bx + ay + d = 0 , где d – постоянная.

Доказательство:

The equation of the original line is ax + by + c = 0

The slope of the original line is -a / b.

Let’s the slope of the perpendicular line is m

Since product of the slopes is -1, so, we can write,

m × (-a / b) = – 1

m = b / a

So, if the perpendicular line passes through a point (x₁ , y₁), 

(y – y₁) / (x – x₁) = b / a

y – y₁ = (b / a) × (x – x₁)

ay – ay₁ = bx – bx₁

– bx + ay + (bx₁ – ay₁) = 0

Let’s bx₁ – ay₁ = d, where d is a constant.

Thus, the equation stands as,

– bx + ay + d = 0

Примеры проблем

Вопрос 1: прямые 3x + 2y + 5 = 0 и 2x – 3y + 8 = 0 перпендикулярны?

Решение:

The slope of the line 3x + 2y + 5 = 0 is – 3 / 2.

The slope of the line 2x – 3y + 8 = 0 is -2 / (-3) = 2 / 3

Thus, the product of the slopes are: (- 3 / 2) × (2 / 3) = -1

Since, the product of slopes are -1, the lines are perpendicular.

Вопрос 2: Найдите прямую, перпендикулярную прямой x + 2y + 5 = 0 и проходящую через точку (2, 5).

Решение:

From property 2, we get that the equation of a line perpendicular to the line ax + by + c = 0 is – bx + ay + d = 0.

Comparing the line x + 2y + 5 = 0 with ax + by + c = 0, 

• a = 1
• b = 2
• c = 5

Thus, the equation of any line perpendicular to this line is – 2x + y + d = 0, where d is a constant.

Given, this line passes through (2, 5), thus putting (2, 5) in this equation of the perpendicular line, 

-2 × 2 + 5 + d = 0

• d = -1

Hence, the equation of the perpendicular line stands as -2x + y – 1 = 0

Вопрос 3: Найдите наклон линии, перпендикулярной прямой 3x + 9y + 7 = 0.

Решение:

Given, the equation of the line is  3x + 9y + 7 = 0.

So, the slope of this line is – 3 / 9 = – 1 / 3.

Let’s, the slope of the perpendicular line be m.

From property 1, we can write,

m × (- 1 / 3) = – 1

m = 3

Thus, the slope of the line perpendicular to the given line is 3.

Вопрос 4: Найдите угол линии, перпендикулярной линии x + y + 3 = 0 с осью X в диапазоне [0, 90°].

Решение:

Slope of the given line = – 1 / 1 = – 1

Lets, the slope of its perpendicular line be m. 

So, from property 1, we can write,

m × -1 = – 1

m = 1

So, if the angle of the line perpendicular to the given line is θ, then we can write slope as 

tanθ = 1

θ = tan^-1(1) = 45°

Hence, the angle made by perpendicular line with X-axis is 45°.