Что такое формула параллельных прямых?

Сочетание двух или более линий, вытянутых в бесконечность и никогда не пересекающихся друг с другом, называется параллельными линиями или копланарными линиями. Параллельные прямые обозначаются специальным символом ||.

Характеристики:

• Две прямые называются параллельными, если между ними сохраняется постоянное перпендикулярное расстояние.
• Наклон двух параллельных прямых равен
• Они никогда не пересекаются друг с другом
• Они всегда имеют равный угол основания с любой осью.

Углы, связанные с параллельными прямыми

• Альтернативные углы: это углы, которые образуются, когда линия пересекает две линии, которые лежат на противоположных сторонах поперечной линии и противоположных относительных сторонах других линий. Если две прямые равны, то равны и противоположные углы.

• Соответствующие углы: Углы, образующиеся при пересечении секущей с любой парой прямых, называются соответствующими углами. Если две прямые параллельны, то соответствующие углы также равны.

• Внутренние углы: если линия обхода пересекает две параллельные прямые, то сумма каждой пары внутренних углов по одну сторону от линии обхода является дополнительной.

Наклон линий

Наклон — это измерение, позволяющее определить, насколько линия экстента ориентирована относительно оси. В общем, мы определяем наклон как тангенс угла между осью X и линией. Если угол между осью X и данной линией равен θ, то

Slope = tanθ

1. Для линии с уравнением y = mx + b определим:

• m: Наклон заданной линии
• b: точка пересечения линии по оси Y.

2. Если на прямой заданы две точки (a,b) и (c,d) , то можно найти наклон прямой по формуле:

Slope = (b – d) / (a – c)

Уравнение линии можно определить, рассмотрев точку (x, y) на линии. Поскольку мы также можем найти наклон с точки зрения x и y, мы можем написать

Наклон = (y – d) / (x – c)

Приравнивая это к фактическому значению наклона, мы можем получить уравнение для данной линии как,

 (y – d) / (x – c) =  (b – d) / (a – c)

3. Для данной линии ax + by + c = 0 мы можем записать наклон как:

Slope = – a / b

Примеры проблем

Вопрос 1. Параллельны ли прямые y = 2x + 3 и 5y = 10x + 21?

Решение:

Given the lines are 

y = 2x + 3  — (i)

5y = 10x + 21  — (ii)

Dividing equation (ii) with 5, we get:

5y/5 = 10x/5 + 21/5

y = 2x + 4.2

Thus, we see that the slope of both the lines are equal to 2, hence the lines are parallel.

Вопрос 2. Определить наклон прямой 2х+5у+6=0.

Решение:

Since, the given line is in the form of ax + by + c = 0, we can compare the values of a , b and c and get their values as,

a = 2, b = 5 and c = 6

Thus, the slope of the line = -a/b = – 2/5 = -0.40

Вопрос 3: Определите уравнение прямой, проходящей через (1, 2) и параллельной прямой y = 2x + 5.

Решение:

The given line y = 2x + 5 has slope equals to 2.

We consider any point (x, y) on the line of which we need to find the equation. So, we can write the slope of the line as:

Slope = (y – 2)/(x – 1)

Since this line is parallel to y = 2x + 5, ao the slope of the line is also equal to 2. So, we can write:
(y – 2) / (x – 1) = 2

y – 2 = 2x – 2

y = 2x

So, the equation of the line is y = 2x

Вопрос 4. Если прямая проходит через точки (k, 2) и (6, 7) и параллельна прямой 3x – 3y + 5 = 0, то найти значение k.

Решение:

Given line is parallel to the line 3x – 3y + 5 = 0. Since, this is in the form of ax + by + c = 0, we can write,

Slope of this line = – a / b = – 3 / (-3) = 1

In terms of the two points, we can write the slope of the given line as,

Slope = (7 – 2) / (6 – k) = 5 / (6 – k)

Since, the lines are parallel, we can write:

5 / (6 – k) = 1

6 – k = 5

k = 1

Hence, the value of k is 1.

Вопрос 5. Прямая параллельна прямой y = x + 3. Найдите внутренний угол между прямой и осью X.

Решение:

Since the lines are parallel, they must have the same slope.

So, the slope of the given line = Slope of y = x + 3 = 1

Lets, the angle made by the line and X-axis be θ, then we can write:

tanθ = 1

θ = tan^-1(1) =45^o

So, the angle between the line and X-axis is equal to 45^o.