Чему равно «i» в алгебре?

Сочетание реального и Мнимые числа называются комплексными числами. Он представлен буквой «Z». Комплексные числа имеют множество применений, например, они особенно ценны в аппаратном обеспечении, оптике и квантовых гипотезах для изображения волн. Кроме того, изменения Фурье используют комплексные числа.

Математически комплексное число представляется как Z = a + ib, где a — действительная часть, а b — мнимая часть. Здесь я — мнимое число, и оно называется «йота». Например, 5 + 3i, где 5 — действительное число, а 3i — мнимое число. Следовательно, комплексное число представляет собой простое представление разложения двух чисел, т. е. действительного числа и мнимого числа. Одна его часть просто реальна (Re), а другая часть абсолютно воображаема (Img).

Существуют различные формы комплексных чисел, в основном 3 типа: прямоугольная форма: z = a + ib, полярная форма: z = r(cosθ + isinθ) и экспоненциальная форма: z = re (iθ), где θ — угол (в радианы) между положительной вещественной осью и отрезком, соединяющим начало координат и z.

Вещественные числа

Любое число, которое можно нанести на числовую прямую называется действительным числом. Каждое из отрицательных и положительных чисел, десятичных и неполных чисел называется действительными числами. Они не содержат никакой мнимой стоимости. Они очень часто используются в практической жизни для выполнения различных алгебраических операций, решения простых и длинных уравнений, геометрии и т. д. Действительные числа обозначаются буквой «R». Это состоит из,

• Рациональные числа. Рациональное число — это действительное число, представленное в виде дроби p/q, где q не равно 0. Оно обозначается буквой « Q ». Он состоит из завершающих десятичных знаков и не заканчивающихся повторяющихся десятичных знаков и, следовательно, не может быть представлен в дробной форме. Пример рационального числа — 0,53, 4, 5,768, 3/2, 1,2222222… Кроме того, рациональные числа содержат совершенные квадраты, такие как 4, 9, 16, 25, 49 и т. д.
• Иррациональные числа: иррациональное число является действительным числом которые не могут быть представлены в виде дроби или Когда какое-либо число не может быть выражено в виде частного при делении двух чисел, оно называется рациональным числом, обозначаемым « R – Q ». Он состоит из непрерывных неповторяющихся десятичных знаков. Пример иррациональных чисел: √(2) = 1,41421356…, √(5) = 2,23606…, π.

Мнимые числа (i)

Оно определяется как квадратный корень из отрицательных натуральных чисел, или мы можем сказать любое число, которое после возведения в квадрат дает отрицательное число. Они объединяются с действительными числами, образуя комплексные числа, и оказывают огромное влияние на теорию чисел и геометрию. Они также играют важную роль в технике и практической жизни, например, они используются в электрических цепях для представления различных физических величин и цепей и решения некоторых сложных квадратных уравнений в современной физике. Пример: √(-2), √(-7) и т.д.

Чему я равен в алгебре?

Отвечать:

Его изобрели математики еще тогда, когда, имея проблемы с нахождением корней некоторых кубических уравнений, они заметили тот факт, что некоторые числа, которые сегодня считаются мнимыми, не могут быть представлены на оси x, так почему бы не использовать ось y для представляют их и, таким образом, породили концепцию квадратных корней из отрицательных чисел, т.е. мнимых чисел.

Он обозначается буквой «i», где значение i рассматривается как √(-1). Любое действительное число при умножении на мнимое число даст мнимое число. Например, 5 × √(-1) = √(-5) или 5i. Мнимые числа, как следует из их названия, на самом деле не являются мнимыми. Они существуют. Возьмем пример:

Предположим, что решается квадратное уравнение x ² = -4 . В приведенном выше уравнении нельзя найти корень -4, а это означает, что действительных корней нет, т. е. парабола не пересекает ось x, как показано на диаграмме.

Запишите приведенное выше уравнение в виде x ² = -1 × 4. Теперь мы знаем, что квадратный корень из 4 равен +2 и -2.

Но квадратный корень из -1 неизвестен, поэтому математики изобрели новое число как √(-1) и назвали его «i» (обозначая мнимое число). Теперь можно решить приведенное выше уравнение, приняв √(-1) как i и получить соответствующие корни как +2i и -2i.

Эволюция мнимых чисел

Мнимые числа также обнаруживались, как и все остальные числа в системе счисления, по мере возникновения в них необходимости. Первые натуральные числа были найдены в ранней человеческой цивилизации, они были изобретены для нормального счета. Затем был придуман «0», чтобы обозначать ничто, а в сочетании с натуральными называются целыми числами. После этого были изобретены отрицательные числа, которые также имеют физическое значение, например, обозначающие долг или идущие в обратном направлении.

Сочетание целых чисел и отрицательных чисел называется целым числом. Затем появились рациональные числа, используемые для вычисления части или доли чего-либо. Затем, через некоторое время, греческие математики обнаружили иррациональные числа, находя гипотенузу прямоугольного треугольника с основанием и размером как 1 единицу, и, наконец, мнимые числа были найдены, когда математики не смогли решить некоторые квадратные уравнения, как обсуждалось в выше темы.

Реальный пример мнимого числа

Предположим, человек движется в определенном направлении со скоростью X. Через некоторое время по какой-то причине его направление меняется на противоположное, и поэтому скорость становится «-X». Это означает, что если человек вращается на 180 градусов, то его скорость умножается на «-1». Теперь предположим, что если человеку нужно изменить свое направление на пути, перпендикулярном исходному пути, то ему нужно повернуть только половину поворота, который ему нужно сделать, двигаясь в противоположном направлении. Обозначим это вращение через r.

Рассматривая приведенный выше пример, мы можем сказать, что r ^. г = -1. (Поскольку два поворота на 90° = один поворот на 180°). После поворота на 90° новая скорость человека станет Xr, где r = √(-1) (мнимое число).

Примеры проблем

Вопрос 1: Какие из перечисленных чисел являются мнимыми?

1. -1
2. √7
3. 2√-1
4. 3i
5. √-4
6. √(-1) ²

Решение:

3, 4, 5, are imaginary numbers as they all have negative numbers in square root. 

Вопрос 2: Найдите значения следующих терминов,

1. я ²
2. я ³
3. я ⁴
4. я ⁵
5. я ⁶
6. я ²⁷¹
7. я ⁷⁴
8. я ^-1

Решение:

1. i² = -1
2. i³ = i
3. i⁴ = 1       
4. i⁵ = i 
5. i⁶ = -1
6. i²⁷¹  = i^{4 x 67}.i³ = 1 × i = i    
7. i⁷⁴  = i^{4 x 18}.i² =  1 × -1 = -1
8. i^-1  = 1/i (multiplying both numerator and denominator by i => i/i² = i/-1 = -i)

Вопрос 3: Напишите мнимую часть данных комплексных чисел.

1. 4 + 3√-1
2. я ² + я
3. √7 + 6i
4. -4 + 2и

Решение:

1. 3
2. 1              
3. 6
4. 2

Вопрос 4: Сократите следующие мнимые числа как кратные i или √(-1).

1. √(-9)
2. 5√(-3)
3. 6и ²
4. 3√(-4) ³

Решение:

1. √(-9) = 3√-1 = 3i
2. 5√(-3)  = 5√3√-1 = 5√3i
3. 6i³ = 6i  ( since i.i.i = i)
4. 3√(-2)³ = 3 × 2√2√-1 = 6√2i