Базовые конструкции – биссектриса угла, биссектриса перпендикуляра, угол 60°

Большую часть времени мы используем диаграммы при изображении форм и сценариев в математике. Но они не точны, это просто представление фактической формы без надлежащих измерений. Но когда мы строим что-то вроде деревянного стола или карты здания, нужно построить . Он должен быть точным в измерениях. Для таких случаев нам нужно научиться делать некоторые основные конструкции. Изучим их подробно.

Введение в конструкции

Для рисования многоугольников, углов или кругов необходимы некоторые основные инструменты, которые приведены в нашей геометрической коробке.

Блок геометрии должен содержать следующие инструменты:

1. Линейка или градуированная шкала:

It should have centimetres and millimetres marked off on one side and the other side should have inches and their parts marked off on it. 

2. Пара установленных квадратов:

One should have 60°, 90° and 30° as its angles and the other one should have 90°, 45° and 45°.

3. Делитель

Dividers have a jointed pair of legs, each leg has a sharp point. They can be used for scribing a circles and taking off and transferring the dimensions. 

4. Компас

Compass is used for inscribing circles or arcs. As similar to dividers, they can also be used for taking off and transferring the dimensions. 

5. Транспортир

This instruments helps us in measuring the angles. It has degrees marked from 0 to 180 and from 180 to 0. It has readings from both left to right and right to left. Both the readings supplement each other. 

Для изучения основных конструкций мы в основном будем использовать три из них. Градуированная шкала, компас и транспортир. Давайте посмотрим на некоторые основные конструкции.

Основные конструкции

Мы знаем, что биссектриса — это линия, которая делит что-либо на две равные части, будь то угол или отрезок. Давайте посмотрим, как сделать биссектрису любого заданного угла, используя наши инструменты из блока геометрии.

Построение 1: Биссектриса угла

Допустим, нам дан угол PQR, и цель состоит в том, чтобы построить биссектрису данного угла.

Steps for Construction: 

Step 1.  Take Q as centre and draw an arc that intersects the rays QP and QR with any radius. Let’s name the intersection points T and S. 

Step 2. Now take T and S as the Centre and with the radius that is more than half of the length of TS. Draw arcs such that they intersect, let’s call that intersection U.

Step 3. Now join QU, this is our required bisector. 

Построение 2: Биссектриса данной прямой.

Биссектриса – это прямая, которая делит заданную прямую пополам и перпендикулярна к ней. По заданной прямой PQ цель состоит в том, чтобы построить биссектрису, перпендикулярную ей.

Steps for Construction: 

Step 1. Let’s take P and Q as the centre and take any radius that more than half the length of PQ. Now draw arcs on both sides of the line PQ and let them intersect at A and B respectively.

Step 2. Now Join AB and let it intersect at M on PQ. This is our required perpendicular bisector. 

Конструкция 3: Угол 60°

The goal in this construction is to construct an angle of 60° from a given ray PQ.

Steps of Construction: 

Step 1. With P as the centre and some arbitrary radius, construct a circular arc that intersects PQ at S.

Step 2. Now take S as the centre and the same radius as above. Draw an arc on the arc already drawn. Let’s say the point of intersection of both arcs is T. 

Step 3. Draw a ray PR passing through T. This will give us the required angle of 60°. 

Давайте посмотрим на некоторые примеры этих понятий.

Примеры проблем

Вопрос 1: На рисунке ниже ∠PQR разделен на множество частей.

Определите биссектрису для ∠PQR.

Решение:

We know that bisector of an angle divides it into two equal parts. 

Notice that, 

 ∠PQT = ∠SQT + ∠PQS 

 ∠PQT = 30° + 20°

∠PQT = 50°

and, 

 ∠TQR = ∠TQU + ∠UQR

∠TQR = 35° + 15°

∠TQR = 50°

This the ray QT is the bisector of the angle PQR. 

Вопрос 2: Укажите Верно или Неверно следующие утверждения.

1. Биссектриса делит отрезок пополам.
2. Биссектриса делит угол на две равные части.

Решение:

Statement 1: False 

According to the definition of perpendicular bisector, it is a line that divides a line segment into two equal parts and is also perpendicular to it. 

Statement 2: True 

An angle bisector divides an angle into two equal parts. 

Вопрос 3: Постройте угол 30°, используя методы построения, упомянутые выше.

Решение:

Steps of Construction: 

Step 1. Using the construction technique mentioned above for creating 60° angle. Let’s call that angle ∠CAB.

Step 2. Now, since the angle is 60° and out goal is to construct an angle of 30°. We need to bisect this angle using the technique mentioned above.

Now the ray AE gives us the angle of 30°.

Вопрос 4: Постройте угол 135°.

Решение:

An angle of 135° can be made using one 90° and one 45°. 

Let’s make a straight line PQ with a point R in between. 

Now we have made two 90° angles. We need to bisect on the of angles to make a 45°. 

Thus, ∠PRE gives us the required angle 135°.