Арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия
Слово «последовательность» в английском языке означает набор некоторых чисел или объектов таким образом, что в нем есть первый член, второй член и так далее. Например, последовательности могут быть любыми. - Январь Февраль, …. это последовательность месяцев в году. Последовательности используются в реальных реальных жизнях людей каждый день. Дни недели также можно рассматривать как последовательность. Таким образом, становится необходимым изучать последовательности и находить в них закономерности, чтобы мы могли предсказывать следующие члены последовательности и извлекать из них информацию.
Последовательности
Рассмотрим последовательность: 2,4,6,8 и так далее. Различные числа, входящие в него, называются его членами. Они обозначаются a 1 , a 2 , a 3 … n. Нижние индексы обозначают n-й член. N-й член последовательности также называется общим членом последовательности, потому что мы можем вывести из него любой другой член, подставляя различные значения n. Вот в этом случае,
а 1 = 2, а 2 = 4, а 3 = 6 и так далее…
Последовательность с конечным числом членов называется конечной последовательностью, и аналогично последовательность с бесконечным числом членов называется бесконечной последовательностью.
A sequence can be regarded as a function whose domain is the set of natural numbers or some subset of it. Sometimes, we use the functional notation a(n) for an.
Серии
Для заданной последовательности a 1 , a 2 , a 3 … n . Приведенное ниже выражение называется рядом. Ряд может быть бесконечным или конечным в зависимости от количества членов в его последовательности. ∑ - общепринятое обозначение, используемое для обозначения серии. Это указывает на вовлеченное суммирование.
= а 1 + а 2 + а 3 +… а н
Эти концепции порождают последовательности, известные как арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия.
Арифметическая прогрессия (АП)
Рассмотрим последовательность 1, 3, 5, 7, ….. Обратите внимание, что в этой последовательности разница между последовательными элементами постоянна. Это означает, что на каждом шаге к каждому члену этой последовательности добавляется постоянное значение. Последовательность a 1 , a 2 , a 3 … an можно назвать арифметической прогрессией, если a n + 1 = an + d, где n — любое натуральное число. В таком ряду 1 называется первым членом, а постоянный член d называется общей разностью АП. Таким образом, АП выглядит так:
а, а + d, а + 2d, а + 3d ….. и так далее.
N-й для AP может быть определен как,
n = a 1 + (n-1)d
Сумма n членов AP определяется выражением,
S н = 
или же
S н = 
Геометрическая прогрессия (ГП)
Рассмотрим следующую последовательность: 2, 4, 8, 16….. Здесь ясно, что каждый член в этой последовательности умножается на 2. Такие последовательности, в которых последовательные члены умножаются на постоянное число, называются геометрическими прогрессиями. В более общем смысле последовательность a 1 , a 2 , a 3 ... an можно назвать геометрической прогрессией, если a n +1 = an . r, где n — любое натуральное число. В таком ряду 1 называется первым членом, а постоянный член r называется обыкновенным отношением ЗП. Таким образом, ЗП выглядит так:
а, ар, ар 2 , ар н ….. и так далее.
N-й для GP может быть определен как,
а н = а 1 r n-1
В общем, GP может быть конечным и бесконечным, но в случае бесконечного GP общее отношение должно быть между 0 и 1, иначе значения GP стремятся к бесконечности. Сумма GP состоит из двух случаев:
Обозначим S n как a + ar + ar 2 + ….. ar n
Случай 1: если r = 1, ряд схлопывается до
а, а, а, а… и так далее.
S н = н/д
Случай 2: если r ≠ 1, ряд остается прежним,
а + ар + ар 2 + ….. ар н
S н = 
Давайте рассмотрим некоторые текстовые задачи, связанные с этими понятиями.
Примеры проблем
Вопрос 1: Биткойн-акция стартовала с 5 долларов. После этого каждый день он повышается на 2 доллара. Найдите цену акции в конце 16-го дня.
Отвечать:
In the above question, each time a constant number is added to the previous term to make a new term. This is an AP.
5, 7, 9, … and so on.
Using the formula for nth term of AP.
an = a1 + (n-1)d
Here a1 denotes the first term and d denotes the common difference. In this case ,
a1 = 5, d = 2 and n = 16
a10 = a1 + (16-1)d
⇒ a10 = 5 + (15)2
⇒ a10 = 5 + 30
⇒ a10 = 35
Thus, the stock prices are at $35.
Вопрос 2: Человек посадил 3 дерева при рождении сына. После этого в последующие дни рождения он каждый год сажал еще по 5 деревьев. Найдите количество деревьев в его дворе, когда его сыну исполнится 10 лет.
Отвечать:
In the above question, each time a constant number is added to the previous term to make a new term. This is an AP.
3, 8, 13, … and so on.
Using the formula for nth term of AP.
an = a1 + (n-1)d
Here a1 denotes the first term and d denotes the common difference. In this case,
a1 = 3, d = 5 and n = 10
a10 = a1 + (10-1)d
⇒ a10 = a1 + (9)d
⇒ a10 = 3 + 9(5)
⇒ a10 = 3 + 45
⇒ a10 = 48
Thus, there are 48 trees in his backyard now.
Вопрос 3: Летом английская рок-группа the1975 выпустила новый альбом, и за один день было продано 100 000 копий. Сейчас альбом возглавляет чарты, и каждый день продается на 20 000 копий больше, чем в предыдущий день. Найдите общий объем продаж альбомов за неделю.
Отвечать:
In the above question, each time a constant number is added to the previous term to make a new term. This is an AP.
100,000; 120,000; 140,000; … and so on.
Goal is to calculate the sum of the sequence at the end of 10th day.
Using the formula for sum till nth term of AP.
Sn =
Here a denotes the first term and d denotes the common difference. In this case,
a = 100,000, d = 20,000 and n = 7
Sn =
⇒S7 =
⇒S7 =
⇒S7 =
⇒S7 =
⇒S7 =
⇒S7 = 770000
Thus, the total album sale is 770,000.
Вопрос 4: Популяция оленей в Национальном парке Корбетт увеличивается. В 2015 году он был 1000, с тех пор он увеличивается, и каждый год становится в 2 раза. Найдите население в 2021 году.
Решение.
Here, every year the population becomes 2 times. A constant number is being multiplied to the previous term to get the new term. This is a geometric progression.
1000, 2000 … and so on.
Here a = 1000 and r= 2
Using the formula for nth term of the GP
an = a1rn-1
In 2021, n = 7. Plugging in the values in the formula
an = a1rn-1
⇒an = (1000)(2)(7-1)
⇒an = (1000)(2)6
⇒an = (1000)(64)
⇒an = 64000
There must be 64,000 deer in Corbett National Park now.
Вопрос 5: У человека 2 родителя, 4 бабушки и дедушки, 8 прадедов и так далее. Найдите количество предков в последних 10 поколениях этой семьи.
Решение.
Here, every year the number becomes 2 times. A constant number is being multiplied to the previous term to get the new term. This is a geometric progression.
2,4 … and so on.
Here a = 2 and r= 2
Using the formula for nth term of the GP
an = a1rn-1
In 2021, n = 10. Plugging in the values in the formula
an = a1rn-1
⇒an = (2)(2)(10-1)
⇒an = (2)(2)9
⇒an = (2)10
⇒an = 64000
There must be 64,000 deer in Corbett National Park now.
Вопрос 6: Вставьте два числа от 4 до 256 так, чтобы полученная последовательность стала GP.
Отвечать:
Let’s say those two numbers are x and y. The resulting sequence then becomes,
4, x, y, 256
This sequence has four terms and is a GP. Here,
a = 4 and r = ?
Formula for nth term of GP is
an = a1rn-1
4th term is 256,
256 = 4r(4 – 1)
64 = r3
This means that, r = 4
Thus,
x = ar
⇒ x = (4)(4)
⇒ x= 16
y = ar2
⇒ y = 4(4)2
⇒ y = 64
So, the two numbers to be inserted are 16 and 64
Вопрос 7: Количество бактерий в чашке равно 100, и каждый час их количество увеличивается в два раза по сравнению с предыдущим значением. Найдите количество бактерий в чашке через 6 часов.
Отвечать:
Here, every year the number becomes 2 times. A constant number is being multiplied to the previous term to get the new term. This is a geometric progression.
100,200, 400 … and so on.
Here a = 100 and r= 2
Using the formula for sum till nth term of the GP
Sn =
n = 6. Plugging in the values in the formula
Sn =
⇒Sn =
⇒ S6 =
⇒ S6 =
⇒ S6 =
⇒ S6 = 6300
There must be 63,00 bacteria in the dish now.
