Алгоритм Фрейвала для проверки, является ли матрица произведением двух

Опубликовано: 17 Января, 2022

Для трех матриц A, B и C найдите, является ли C произведением A и B.
Примеры:

 Ввод: A = 1 1
            1 1
        В = 1 1
            1 1
        С = 2 2
             2 2
Выход: Да
С = А х В

Ввод: A = 1 1 1
            1 1 1
            1 1 1
        В = 1 1 1
            1 1 1
            1 1 1
        С = 3 3 3
            3 1 2
            3 3 3 
Выход: Нет
Рекомендуется: сначала попробуйте свой подход в {IDE}, прежде чем переходить к решению.

Простое решение - найти произведение A и B, а затем проверить, равно ли произведение C или нет. Возможная временная сложность этого метода составляет O (n 2.8874 ) с использованием умножения матриц Стрессии.
Алгоритм Фрейвальдса - это вероятностный рандомизированный алгоритм, работающий за время O (n 2 ) с высокой вероятностью. За время O (kn 2 ) алгоритм может проверить матричное произведение с вероятностью отказа менее 2 -k . Поскольку результат не всегда правильный, это рандомизированный алгоритм Монте-Карло.
Шаги:

  1. Сгенерируйте случайный вектор 0/1 размером n × 1 r⃗ .
  2. Вычислить P⃗ = A × (Br) ⃗ - Cr⃗ .
  3. Вернуть истину, если P⃗ = (0, 0,…, 0) T , в противном случае вернуть ложь.

The idea is based on the fact that if C is actually a product, then value of A × (Br)⃗ – Cr⃗ will always be 0. If the value is non-zero, then C can not be a product. The error condition is that the value may be 0 even when C is not a product.
Below is the implementation of the above approach:

C++

// CPP code to implement Freivald’s Algorithm
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
#define N 2
 
// Function to check if ABx = Cx
int freivald(int a[][N], int b[][N], int c[][N])
{
    // Generate a random vector
    bool r[N];
    for (int i = 0; i < N; i++)
        r[i] = random() % 2;
 
    // Now comput B*r for evaluating
    // expression A * (B*r) - (C*r)
    int br[N] = { 0 };
    for (int i = 0; i < N; i++)
        for (int j = 0; j < N; j++)
            br[i] = br[i] + b[i][j] * r[j];
 
    // Now comput C*r for evaluating
    // expression A * (B*r) - (C*r)
    int cr[N] = { 0 };
    for (int i = 0; i < N; i++)
        for (int j = 0; j < N; j++)
            cr[i] = cr[i] + c[i][j] * r[j];
 
    // Now comput A* (B*r) for evaluating
    // expression A * (B*r) - (C*r)
    int axbr[N] = { 0 };
    for (int i = 0; i < N; i++)
        for (int j = 0; j < N; j++)
            axbr[i] = axbr[i] + a[i][j] * br[j];
 
    // Finally check if value of expression
    // A * (B*r) - (C*r) is 0 or not
    for (int i = 0; i < N; i++)
        if (axbr[i] - cr[i] != 0)
            false;
 
    return true;
}
 
// Runs k iterations Freivald. The value
// of k determines accuracy. Higher value
// means higher accuracy.
bool isProduct(int a[][N], int b[][N],
               int c[][N], int k)
{
    for (int i=0; i<k; i++)
        if (freivald(a, b, c) == false)
            return false;
    return true;
}
 
// Driver code
int main()
{
    int a[N][N] = { { 1, 1 }, { 1, 1 } };
    int b[N][N] = { { 1, 1 }, { 1, 1 } };
    int c[N][N] = { { 2, 2 }, { 2, 2 } };
    int k = 2;
    if (isProduct(a, b, c, k))
        printf("Yes");
    else
        printf("No");
    return 0;
}

Java

// Java code to implement
// Freivald"s Algorithm
import java.io.*;
import java.util.*;
import java.math.*;
 
class GFG {
    static int N = 2;
 
    // Function to check if ABx = Cx
    static boolean freivald(int a[][], int b[][],
                                       int c[][])
    {
        // Generate a random vector
        int r[] = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; i++)
        r[i] = (int)(Math.random()) % 2;
 
        // Now comput B*r for evaluating
        // expression A * (B*r) - (C*r)
        int br[] = new int[N];
        Arrays.fill(br, 0);
        for (int i = 0; i < N; i++)
            for (int j = 0; j < N; j++)
                br[i] = br[i] + b[i][j] * r[j];
 
        // Now comput C*r for evaluating
        // expression A * (B*r) - (C*r)
        int cr[] = new int[N];
        Arrays.fill(cr, 0);
        for (int i = 0; i < N; i++)
            for (int j = 0; j < N; j++)
                cr[i] = cr[i] + c[i][j] * r[j];
 
        // Now comput A* (B*r) for evaluating
        // expression A * (B*r) - (C*r)
        int axbr[] = new int[N];
        Arrays.fill(axbr, 0);
        for (int i = 0; i < N; i++)
            for (int j = 0; j < N; j++)
                axbr[i] = axbr[i] + a[i][j] * br[j];
 
        // Finally check if value of expression
        // A * (B*r) - (C*r) is 0 or not
        for (int i = 0; i < N; i++)
            if (axbr[i] - cr[i] != 0)
                return false;
 
        return true;
    }
 
    // Runs k iterations Freivald. The value
    // of k determines accuracy. Higher value
    // means higher accuracy.
    static boolean isProduct(int a[][], int b[][],
                                 int c[][], int k)
    {
        for (int i = 0; i < k; i++)
            if (freivald(a, b, c) == false)
                return false;
        return true;
    }
 
    // Driver code
    public static void main(String args[])
    {
        int a[][] = { { 1, 1 }, { 1, 1 } };
        int b[][] = { { 1, 1 }, { 1, 1 } };
        int c[][] = { { 2, 2 }, { 2, 2 } };
        int k = 2;
        if (isProduct(a, b, c, k))
            System.out.println("Yes");
        else
            System.out.println("No");
    }
}
 
/*This code is contributed by Nikita Tiwari.*/

Python3

# Python3 code to implement Freivald’s Algorithm
import random
N = 2
 
# Function to check if ABx = Cx
def freivald(a, b, c) :
     
    # Generate a random vector
    r = [0] * N
     
    for i in range(0, N) :
        r[i] = (int)(random.randrange(509090009) % 2)
 
    # Now comput B*r for evaluating
    # expression A * (B*r) - (C*r)
    br = [0] * N
     
    for i in range(0, N) :
        for j in range(0, N) :
            br[i] = br[i] + b[i][j] * r[j]
 
    # Now comput C*r for evaluating
    # expression A * (B*r) - (C*r)
    cr = [0] * N
    for i in range(0, N) :
        for j in range(0, N) :
            cr[i] = cr[i] + c[i][j] * r[j]
 
    # Now comput A* (B*r) for evaluating
    # expression A * (B*r) - (C*r)
    axbr = [0] * N
    for i in range(0, N) :
        for j in range(0, N) :
            axbr[i] = axbr[i] + a[i][j] * br[j]
 
    # Finally check if value of expression
    # A * (B*r) - (C*r) is 0 or not
    for i in range(0, N) :
        if (axbr[i] - cr[i] != 0) :
            return False
             
    return True
 
# Runs k iterations Freivald. The value
# of k determines accuracy. Higher value
# means higher accuracy.
def isProduct(a, b, c, k) :
     
    for i in range(0, k) :
        if (freivald(a, b, c) == False) :
            return False
    return True
 
# Driver code
a = [ [ 1, 1 ], [ 1, 1 ] ]
b = [ [ 1, 1 ], [ 1, 1 ] ]
c = [ [ 2, 2 ], [ 2, 2 ] ]
k = 2
 
if (isProduct(a, b, c, k)) :
    print("Yes")
else :
    print("No")
 
# This code is contributed by Nikita Tiwari

C#

// C# code to implement
// Freivald"s Algorithm
using System;
 
class GFG
{
    static int N = 2;
 
    // Function to check
    // if ABx = Cx
    static bool freivald(int [,]a,
                         int [,]b,
                         int [,]c)
    {
        // Generate a
        // random vector
        Random rand = new Random();
        int []r = new int[N];
         
        for (int i = 0; i < N; i++)
        r[i] = (int)(rand.Next()) % 2;
 
        // Now compute B*r for
        // evaluating expression
        // A * (B*r) - (C*r)
        int []br = new int[N];
         
        for (int i = 0; i < N; i++)
            for (int j = 0; j < N; j++)
                br[i] = br[i] +
                        b[i, j] * r[j];
 
        // Now compute C*r for
        // evaluating expression
        // A * (B*r) - (C*r)
        int []cr = new int[N];
         
        for (int i = 0; i < N; i++)
            for (int j = 0; j < N; j++)
                cr[i] = cr[i] +
                        c[i, j] * r[j];
 
        // Now compute A* (B*r) for
        // evaluating expression
        // A * (B*r) - (C*r)
        int []axbr = new int[N];
         
        for (int i = 0; i < N; i++)
            for (int j = 0; j < N; j++)
                axbr[i] = axbr[i] +
                          a[i, j] * br[j];
 
        // Finally check if value
        // of expression A * (B*r) -
        // (C*r) is 0 or not
        for (int i = 0; i < N; i++)
            if (axbr[i] - cr[i] != 0)
                return false;
 
        return true;
    }
 
    // Runs k iterations Freivald.
    // The value of k determines
    // accuracy. Higher value
    // means higher accuracy.
    static bool isProduct(int [,]a, int [,]b,
                          int [,]c, int k)
    {
        for (int i = 0; i < k; i++)
            if (freivald(a, b, c) == false)
                return false;
        return true;
    }
 
    // Driver code
    static void Main()
    {
        int [,]a = new int[,]{ { 1, 1 },
                               { 1, 1 }};
        int [,]b = new int[,]{ { 1, 1 },
                               { 1, 1 }};
        int [,]c = new int[,]{ { 2, 2 },
                               { 2, 2 }};
        int k = 2;
        if (isProduct(a, b, c, k))
            Console.WriteLine("Yes");
        else
            Console.WriteLine("No");
    }
}
// This code is contributed
// by Manish Shaw(manishshaw1)

PHP

<?php
// PHP code to implement
// Freivald’s Algorithm
$N = 2;
 
// Function to check
// if ABx = Cx
function freivald($a, $b, $c)
{
    global $N;
     
    // Generate a
    // random vector
    $r = array();
    $br = array();
    $cr = array();
    $axbr = array();
     
    for ($i = 0; $i < $N
Алгоритмы

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ СТАТЬИ

Разница между жадным алгоритмом и алгоритмом «разделяй и властвуй»
14 Февраля, 2023
Сжатие и распаковка текстовых файлов с использованием кодирования Хаффмана
21 Января, 2023
Введение в амортизированный анализ
12 Января, 2023
Как анализировать сложность рекуррентного отношения
12 Января, 2023
Наихудший, средний и лучший анализ алгоритмов
4 Января, 2023
Лист Google SDE: вопросы и ответы на собеседовании
12 Декабря, 2022
Что такое логарифмическая временная сложность? Полное руководство
12 Декабря, 2022
Amazon SDE Sheet: вопросы и ответы на собеседовании
12 Декабря, 2022