Алгебраические тождества многочленов
Алгебраические тождества определены для алгебраических выражений. Алгебраические выражения содержат переменные (a, b, c, x, y, z и т. д.), числа (0, 1, 2, 3, 4 и т. д.) и операторы (+, -, *, /… и т. д.). Алгебраическое выражение может содержать только константы (1, 2, 3, 4 и т. д.), или только переменные (x, y, z и т. д.), или константы и переменные вместе (5xy, 4p 3 ). Алгебраические тождества — это в основном те математические уравнения, которые облегчают расчеты в реальной жизни.
Например: рассмотрите возможность умножения двух чисел, таких как «989» и «1011». Теперь это долгий расчет, но если вы знаете некоторые тождества, которые подходят для такого рода задач, их можно легко решить. Прежде чем вдаваться в подробности об алгебраических тождествах, сначала давайте посмотрим, что такое тождество:
Что такое личность?
Идентичность — это отношение между двумя или более чем двумя математическими выражениями, при котором они дают одно и то же значение для всех значений переменных. Проще говоря, можно также сказать, что левая часть любого уравнения становится тождественно равной правой, для всех значений переменных объясняет Тождество.
Давайте посмотрим на это выражение, приведенное ниже,
(х + 2)(х + 4) = х 2 + 6х + 8
Оцените обе стороны RHS и LHS этого уравнения для различных значений x,
1. х = 5
LHS: (x + 2)(x + 4) = (5 + 2)(5 + 4) = 63
RHS: x2 + 6x + 8 = 52 + 6(5) + 8 = 25 + 30 + 8 = 63
Thus, both sides of this expression are equal for x = 5.
2. х = 10
LHS: (x + 2) (x + 4) = (10 + 2) (10 + 4) = (12)(14) = 168
RHS: x2 + 6x + 8 = 102 + 6(10) + 8 = 100 + 60 + 8 = 168
Thus, both sides of this expression are equal for x = 10.
Если мы продолжим экспериментировать с разными значениями x, мы увидим, что LHS и RHS равны для каждого значения x. Такое выражение, истинное для каждого значения присутствующих в нем переменных, называется Identity.
Note: An equation is only true for some values of variables present in it.
For example:
a2 + 3a + 2 = 132
a = 10 satisfies this identity, but a = 5 or – 7 cannot.
Типы алгебраических выражений
Выражения могут быть разных типов в зависимости от того, сколько терминов они содержат. Существует четыре различных типа выражений, составляющих тождества.
Мономиальные выражения
Выражение, содержащее только один член, называется мономиальным выражением.
Например: 16z 2 , 8xy, -7m, 11…. и т.п.
Note: A Monomial Expression can be only a constant, a variable or a combination of both constants and Variables.
For Example: 4, x3, 15x2
Биномиальные выражения
Выражение, содержащее только два термина, называется биномиальным выражением.
Например: х+у, 2х+5з, х2 +10.. и т.д.
Доказательство биномиальной идентичности:
Identity 1: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Proof: L.H.S. = (a + b)2
L.H.S. = (a + b) (a + b)
By multiplying each term, we get,
L.H.S = a2 + ab + ab + b2
L.H.S. = a2 + 2ab + b2
L.H.S. = R.H.S.
Identity 2: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Proof: By taking L.H.S.,
(a – b)2 = (a – b) (a – b)
(a – b)2 = a2 – ab – ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
L.H.S. = R.H.S.
Hence, proved.
Identity 3: a2 – b2 = (a + b) (a – b)
Proof: By taking R.H.S and multiplying each term.
(a + b) (a – b) = a2 – ab + ab – b2
(a + b) (a – b) = a2 – b2
Or
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
L.H.S. = R.H.S.
Hence proved.
Трехчленное выражение
Выражение, содержащее только три члена, называется трехчленным выражением.
Например: 2а + 3б – 5, а 2 б – аб 2 + б 2
| Трехчленное тождество |
| (а + b + с) 2 = а 2 + b 2 + с 2 + 2ab + 2bc + 2ca |
| a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc – ca) |
Identity: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
Proof: Taking L.H.S.
(a+b+c)2= (a+b+c) × (a+b+c)
Using Distributive Property:
(a+b+c)2= a (a+b+c) +b (a+b+c) +c (a+b+c)
= a2+ab+ac+ab+b2+bc+ca+cb+c2
Rearranging the following:
(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
Hence, L.H.S. = R.H.S.
Полиномы
Это обобщение всех трех и других типов выражения. Выражение, содержащее один или несколько членов с ненулевым коэффициентом (с переменными, имеющими неотрицательные степени), называется полиномом. Многочлен может содержать любое количество членов, один или несколько.
Пример: x + y, 2a + 3b - 5, 16z 2 , 2a + 3b - 5 + z.
Теперь мы готовы к изучению алгебраических тождеств.
Алгебраические тождества
Очень важно узнать об основных алгебраических тождествах, которые также известны как стандартные тождества.
| Стандартные удостоверения |
| (а + б) 2 = а 2 + 2аб + б 2 |
| (а – б) 2 = а 2 – 2аб + б 2 |
| а 2 – б 2 = (а + б)(а – б) |
Некоторые другие личности:
| (а + b + с) 2 = а 2 + b 2 + с 2 + 2ab + 2bc + 2ca |
| a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc – ca) |
| (а + b) 3 = а 3 + b 3 + 3ab(a + b) |
| (а – б) 3 = а 3 – б 3 – 3аб (а – б) |
| (x + a) (x + b) = x 2 + (a + b)x + ab |
Давайте рассмотрим несколько примеров, в которых используются эти тождества.
Примеры проблем
Вопрос 1: Узнайте, используя тождества, упомянутые выше, (4x + 3y) 2 .
Решение:
This can be found out using the identity of (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab.
(4x + 3y)2 = (4x)2 + (3y)2 + 2(4x)(3y)
= 16x2 + 9y2 + 24xy
Вопрос 2: Найдите значения 99 2 .
Решение:
Multiplying 99 with 99 will take time and calculation. We can formulate this problem in a form that is easier to calculate.
We have seen the identity, (a – b)2 = a2 + b2 – 2ab.
So, 992 = (100 – 1)2 = 1002 + 12 – 2(100)(1)
= 10000 + 1 -200
= 9801
Вопрос 3: Узнайте 983 2 – 17 2
Решение:
This can take a lot of calculation if we do it the traditional way. We should use the identities to solve this.
We can use a2 – b2 = (a + b)(a -b)
So, 9832 – 172 = (983 + 17)(983 – 17)
= (1000)(966)
= 966000
Вопрос 4: узнать 
Решение:
We can use a2 – b2 = (a + b)(a -b)
Вопрос 5: Узнайте 1011 2 .
Решение:
This problem can be solved using multiple identities. Let’s solve it using the identity with three variables.
(a + b + c ) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
10112 = (1000 + 10 + 1)2 = 10002 + 102 + 12 + 2(1000)(10) + 2(10)(1) + 2(1000)
= 1000000 + 100 + 1 + 20000 + 20 + 2000
= 1022121