Алгебра реальных функций

Функцию можно рассматривать как правило или набор правил, которые отображают ввод в вывод, известный как его образ.

х ⇢ Функция ⇢ у

Такие буквы, как f, g или h, часто используются для описания функции. Иногда при работе над сложными задачами требуется совмещение двух и более функций. Предположим, у нас есть функция, которая вычисляет кубы чисел, заданных в качестве входных данных, но мы хотим, чтобы на выходе всегда было положительное число. В этом случае может потребоваться объединить функцию куба с абсолютной функцией. Такие комбинации часто используются в реальной жизни, но не каждый раз так легко, как в данном случае. Нам нужно позаботиться о том, чтобы комбинации не давали неопределенный результат. Давайте посмотрим на правила или алгебру функций, которые помогают нам их комбинировать.

Алгебра действительных функций

Добавление функций

Пусть f:X → R и g:X → R — любые две действительные функции, где X ∈ R . Затем мы определяем (f + g): X → R по формуле

(f + g) (x) = f (x) + g (x), для всех x ∈ X

Пусть D(f) и D(g) — области определения функции «f» и «g» соответственно. Домен в случае добавления функции становится.

D(f + g) = D(f) ∩ D(g)

Вопрос: Даны f(x) = x + 3 и g(x) = 2x. Найдите (f + g)(x).

Решение:

(f + g) (x) = f (x) + g (x). Since f(x) = x + 3 and g(x) = 2x. 

(f + g)(x) = x + 3 + 2x = 3x + 3

Since domain for both the functions is real number R. The intersection of domain is also R. So, domain of (f + g)(x) is R. 

Вычитание функций

Пусть f:X → R и g:X → R — любые две действительные функции, где X ∈ R . Затем мы определяем (f – g):X → R по формуле

(f – g) (x) = f (x) – g (x), для всех x ∈ X

Пусть D(f) и D(g) — области определения функции «f» и «g» соответственно. Домен в случае добавления функции становится.

D(f + g) = D(f) ∩ D(g)

Вопрос: Даны f(x) = x ² + 1 и g(x) = 1/x. Найдите (fg)(x).

Решение:

Domain for f(x) is R but domain for g(x) is R – {0}.  

(f – g)(x) = f(x) – g(x)  = x² + 1 – 1/x. But the domain for (f – g)(x) is R ∩ R – {0} = R – {0}. 

Умножение на скаляр

Пусть f: X → R — действительная функция, а « k » — любой скаляр, принадлежащий R. Тогда произведение kf — это функция из X в R , определяемая равенством

(kf)(x) = kf(x), x ∈ X .

В этом случае домен остается прежним.

Умножение двух вещественных функций

Пусть f : X → R и g : X → R — любые две действительные функции, где X ⊆ R . Тогда произведение этих двух функций, т. е . f ∗ g : X → R , определяется формулой

(f ∗ g) (x) = f (x) g (x) ∀ x ∈ X

Пусть D(f) и D(g) — области определения функции «f» и «g» соответственно. В этом случае также домен

D(f * g) = D(f) ∩ D(g)

Вопрос: Даны f(x) = x ² + 1 и g(x) = 1/x. Найдите (f ∗ g)(x).

Решение:

(f * g)(x) = f(x) g(x) = (x2 + 1)(1/x) = . Domain remains the same as previous example in this case too. 

Частное двух действительных функций

Пусть f и g — две действительные функции, определенные из X → R. Фактор f по g обозначается - функция, определенная из X → R как,

, при условии, что g(x) ≠ 0.

Домен для : {х | x ∈ D _f ∩ D _g и g(x) ≠ 0}

Вопрос 1: Даны f(x) = x ² + 1 и g(x) = (x + 1)/x. Находить

Решение:

Domain for f(x) is R and Domain for g(x) is R – {0}. Also, g(x) = 0 at x  = -1. 

We know, domain should be  {x | x ∈ Df ∩ Dg and g(x) ≠ 0 }. 

So, domain becomes R – {0,1}. 

Вопрос 2: Учитывая приведенные ниже таблицы:

Рассчитать:

• (ж + г)(6)
• (е – ж)(8)
• (ж*г)(2)
• (ф/г)(4)

Отвечать:

• (f + g)(6) = f (6) + g(6) = 30 + (-14) = 16
• (f – g)(8) = f (8) – g(8) = 26 – (-22) = 48
• (f * g)(2) = f (2) x g(2) = 23 x 28 = 644
• (f / g)(4) = f (4) / g(4) = 16 / 32 = ½