2sinAcosB Формула
2sinacosb — одна из важных тригонометрических формул, равная sin (a + b) + sin (a — b). Это одна из формул произведения на сумму, которая используется для преобразования произведения в сумму. Раздел математики, изучающий углы и длины сторон прямоугольных треугольников, называется тригонометрией. Существует шесть тригонометрических отношений или функций, т. е. функции синуса, косинуса, тангенса, косеканса, секанса и котангенса, где тригонометрическое отношение определяется как отношение между сторонами прямоугольного треугольника. Функции косеканса, секанса и котангенса являются обратными функциями синуса, косинуса и тангенса соответственно.
- sin θ = opposite side/hypotenuse
- cos θ = adjacent side/hypotenuse
- tan θ = opposite side/adjacent side
- cosec θ = 1/sin θ = hypotenuse/opposite side
- sec θ = 1/cos θ = hypotenuse/adjacent side
- cot θ = 1/tan θ = adjacent side/opposite side
формула 2sinAcosB
2sinacosb — одна из формул произведения на сумму. Точно так же у нас есть три других произведения для формул суммирования/разности в тригонометрии, а именно 2sinasinb, 2cosacosb и 2cosasinb. Используя формулу 2sinacosb, мы можем упростить тригонометрические выражения, а также решать интегралы и производные, включающие выражения вида 2sinacosb. Это тригонометрическое тождество получается путем сложения тождеств sin (a + b) и sin (a – b).
Формула 2sinacosb:
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)
Из формулы видно, что произведение функции синуса и функции косинуса преобразуется в сумму двух других функций синуса. Например,
Формулы произведения на сумму для половинных углов:
2 sin (x/2) cos (y/2) = sin [(x + y)/2] + sin [(x – y)/2]
Вывод
From the sum and difference formulae of trigonometry, we have,
sin (A + B) = sin A cos B + sin B cos A ⇢ (1)
sin (A – B) = sin A cos B – sin B cos A ⇢ (2)Now, by adding equations (1) and (2) we get,
⇒ sin (A + B) + sin (A – B) = (sin A cos B + sin B cos A) + (sin A cos B – sin B cos A)
⇒ sin (A + B) + sin (A – B) = sin A cos B + sin A cos B
⇒ sin (A + B) + sin (A – B) = 2 sin A cos B
Therefore, 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)
формула sin2A
We have, 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)
Now, let us consider that A = B
⇒ 2 sin A cos A = sin (A + A) + sin (A – A)
⇒ 2 sin A cos A = sin 2A + sin 0°
⇒2 sin A cos A = sin 2A {Since sin 0° = 0}
Hence, sin 2A = 2 sin A cos A
Решенные проблемы
Задача 1: выразить 5 sin 2x cos 6x через функцию синуса.
Решение:
5 sin 2x cos 6x
By multiplying and dividing the given equation by 2, we get
(2/2) 5 sin 2x cos 6x
= 5/2 [2 sin 2x cos 6x]
We have,
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)
5/2 [2 sin 2x cos 6x] = 5/2 [sin (2x + 6x) + sin (2x – 6x)]
= 5/2 [sin (8x) + sin(-4x)]
= 5/2 [sin 8x – sin 4x] {since sin (-θ) = – sin θ}
Hence, 5 sin 2x cos 6x = 5/2 [sin 8x – sin 4x]
Задача 2. Определить производную от 2 sin 3x cos (11x/2).
Решение:
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)
2 sin 3x cos (11x/2) = sin [3x+ (11x/2)] + sin [3x – (11x/2)]
= sin (17x/2) + sin (-5x/2)
= sin (17x/2) – sin (5x/2) {since sin (-θ) = – sin θ}
Now, derivative of 2 sin 3x cos (11x/2) = d [2 sin 3x cos (11x/2) ]/dx
= d [sin (17x/2) – sin (5x/2)]/dx
= 17/2 cos (17x/2) – 5/2 cos (5x/2) {Since, d[sin (ax)] = a cos (ax)}
= 1/2 [17 cos (17x/2) – 5 cos (5x/2)]
Hence, the derivative of 2 sin 3x cos (11x/2) = 1/2 [17 cos (17x/2) – 5 cos (5x/2)]
Задача 3. Запишите 8 sin 4y cos (7y/2) в терминах функции суммы.
Решение:
8 sin 4y cos (7y/2) = 4 (2 sin 4y cos (7y/2))
We have,
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)
4 (2 sin 4y cos (7y/2)) = 4 [sin (4y + (7y/2)) + sin (4y – (7y/2))]
= 4 [sin (15y/2) + sin (y/2)]
Hence, 8 sin 4y cos (7y/2) = 4 [sin (15y/2) + sin (y/2)]
Задача 4. Найдите значение выражения 2 sin 38,5°cos 51,5° по формуле 2sinacosb.
Решение:
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)
2 sin 38.5° cos 51.5° = sin (38.5° + 51.5°) + sin (38.5° – 51.5°)
= sin (90°) + sin (-13°)
= sin (90°) – sin (13°) {since sin (-θ) = – sin θ}
= 1 – 0.22495 = 0.77505, sin 90° = 1 and sin 13° = -0.22495
Hence, 2 sin 38.5° cos 51.5° = 0.77505
Задача 5: Каково значение интеграла от 3 sin (3x/2) cos (9x/2)?
Решение:
We have,
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)
3 sin (3x/2) cos (9x/2) = 3/2 [sin (3x/2) cos (9x/2)]
= 3/2 [sin (3x/2 + 9x/2) + sin (3x/2 – 9x/2)]
= 3/2 [sin (12x/2) + (sin (-6x/2)]
= 3/2 [sin (6x) – sin (3x)] {since sin (-θ) = – sin θ}
Now, integral of 3 sin (3x/2) cos (9x/2) =∫3 sin (3x/2) cos (9x/2) dx
= ∫3/2 [sin (6x) – sin (3x)] dx
= 3/2 [-1/6 (cos 6x) + 1/3 cos (3x) + C] {Since, the integral of sin(ax) is (-1/a) cos (ax) + C}
= 1/2 (cos 3x) – 1/4 (cos 6x) + C
Hence, ∫3 sin (3x/2) cos (9x/2) dx = 1/2 (cos 3x) – 1/4 (cos 6x) + C
Задача 6: Вычислить производную от 9 sin (6y) cos (2y).
Решение:
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)
9 sin (6y) cos (2y) = 9/2 [2 sin (6y) cos (2y)]
= 9/2 [sin [6y + 2y] + sin [6y – 2y]
= 9/2 [sin 8y + sin 4y]
Now, derivative of 9 sin (6y) cos (2y) = d [9 sin (6y) cos (2y) ]/dy
= d [9/2 (sin 8y + sin 4y)]/dy
= 9/2 [8 cos 8y + 4 cos 4y] {Since, d[sin (ax)] = a cos (ax)}
= 36 cos 8y + 18 cos 4y
Hence, the derivative of 9 sin (6y) cos (2y) = 36 cos 8y + 18 cos 4y.