2cosAsinB Формула

Опубликовано: 8 Октября, 2022

2cosasinb — одна из важных тригонометрических формул, равная sin (a + b) — sin (ab). В математике тригонометрия является важным разделом, изучающим отношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника, который имеет широкий спектр приложений во многих областях, таких как астрономия, архитектура, морская биология, авиация и т. д. Существует шесть тригонометрических соотношений. , из которых три отношения являются обратными величинами трех других тригонометрических отношений. Тригонометрическое отношение – это отношение длин сторон прямоугольного треугольника.

Тригонометрические отношения

  1. sin θ = opposite side/hypotenuse = AB/AC
  2. cos θ = adjacent side/hypotenuse = BC/AC
  3. tan θ = opposite side/adjacent side = AB/BC
  4. cosec θ = 1/sin θ = hypotenuse/opposite side = AC/AB
  5. sec θ = 1/cos θ = hypotenuse/adjacent side = AC/BC
  6. cot θ = 1/tan θ = adjacent side/opposite side = BC/AB

2косазинb формула

Формула 2cosasinb — это тригонометрическая формула, которая используется для упрощения тригонометрических выражений, а также для решения сложных интегралов и производных тригонометрических выражений. Формула 2cosasinb равна разнице между суммой углов и разностью углов синусоидальных функций, т. е. для двух углов A и B,
2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B).

Формула 2cosasinb:

2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)

Из формулы мы можем заметить, что удвоенное произведение функции косинуса и функции синуса преобразуется в разницу между суммой углов и разностью углов функций синуса. С помощью формулы 2 cos A sin B мы можем извлечь формулу cos A sin B.

cos A sin B = ½ [sin (A + B) – sin (A – B)]

Происхождение 2козазина

We can derive the 2cosasinb formula with the help of the sum and difference of formulae of the sine function.

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B   ————— (1)

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B     ————— (2)

Now subtract the equation (2) from the equation (1)

⇒ sin (A + B) – sin (A – B) = (sin A cos B + cos A sin B) – (sin A cos B – cos A sin B)

⇒ sin (A + B) – sin (A – B) = sin A cos B + cos A sin B – sin A cos B + cos A sin B

⇒ sin (A + B) – sin (A – B) = cos A sin B + cos A sin B

⇒ sin (A + B) – sin (A – B) = 2 cos A sin B

Hence, 2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)

Решенные примеры

Задача 1: Решите интеграл от 2cos 3x sin (5x/2).

Решение:

Integral of 2cos 3x sin (5x/2) = ∫2 cos 3x sin (5x/2) dx

From 2cosasinb formula we have,

2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)

2 cos 3x sin (5x/2) = sin (3x + (5x/2)) – sin (3x – (5x/2))

= sin (11x/2) – sin (x/2)

Now, ∫2 cos 3x sin (5x/2)) dx = ∫[sin (11x/2) – sin (x/2)] dx

= ∫sin (11x/2) dx – ∫sin (x/2) dx

= -2/11 cos (11x/2) – (-2 cos (x/2))   {∫sin (ax) = -1/a cos (ax) + c}

= 2[cos (x/2) – 1/11 cos (11x/2)]

Hence, the  integral of 2 cos 3x sin (5x/2) = 2[cos (x/2) – 1/11 cos (11x/2)]

Задача 2. Выразите 5cos (7x/2) sin 3x через функцию синуса.

Решение:

From 2cosasinb  formula we have,

2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)

Now, 5 cos (7x/2) sin 3x = 5/2 [2 cos (7x/2) sin 3x]

= 5/2 [sin (7x/2 + 3x) – sin (7x/2 – 3x)]

= 5/2 [sin (13x/2) – sin (x/2)]

Hence, 5 cos (7x/2) sin 3x = 5/2 [sin (13x/2) – sin (x/2)].

Задача 3. Найдите значение выражения 4 cos (27,5°) sin (62,5°), используя формулу 2cosasinb.

Решение:

4 cos (27.5°) sin (62.5°) = 2 [2 cos (27.5°) sin (62.5°)]

From 2cosasinb formula we have,

2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)

Now, 2 [2 cos (27.5°) sin (62.5°)] = 2 [sin (27.5° + 62.5°) – sin (27.5° – 62.5°)]

=2 [sin (90°) – sin (-35°)]

= 2 [sin 90°+ sin 35°]      {Since, sin (-θ) = – sin θ}

= 2 [1 + 0.5735]               {Since, sin 35° = 0.5735, sin 90° = 1}

= 3.147          

Hence, 4 cos (27.5°) sin (62.5°) = 3.147

Задача 4: Найдите производную от 7 cos 4x sin 11x.

Решение:

Derivative of 7 cos 4x sin 11x = d(7 cos 4x sin 11x)/dx

From 2cosasinb formula we have,

2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)

Now, 7 cos 4x sin 11x  = 7/2 [2 cos 4x sin 11x ]

= 7/2 [sin (4x + 11x) – sin (4x – 11x)]

= 5/2 [sin (15x) – sin (-7x)]

=  5/2 [sin (15x) + sin (7x)]     {Since, sin (-θ) = – sin θ}

Now, d(7 cos 4x sin 11x)/dx = d{5/2 [sin 15x + sin 7x]}/dx

= 5/2{d(sin 15x)/dx + d( sin 7x)/dx}

= 5/2 [15 cos 15x + 7 cos 7x]    {Since, d(sin ax)/dx = a cos ax}

= 37.5 cos 15x + 17.5 cos 7x

Hence, the derivative of 7 cos 4x sin 11x = [37.5 cos 15x + 17.5 cos 7x] .

Задача 5: Выразите 2 cos 14x sin (3x/2) через функцию синуса.

Решение:

From 2cosasinb  formula we have,

2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)

Now, 2 cos 14x sin (3x/2) =  sin (14x + 3x/2) – sin (14x – 3x/2)

= sin [(28x + 3x)/2] – sin [(28x – 3x)/2]

= sin (31x/2) – sin (25x/2)

Hence, 2 cos 14x sin (3x/2) = [sin (31x/2) – sin (25x/2)].

Задача 6. Решите 6 sin (52,5°) sin (127,5°) по формуле 2cosasinb.

Решение:

6 sin (52.5 °) sin (127.5‬°) = 3 [2 sin (52.5 °) sin (127.5‬°)]

From 2cosasinb formula we have,

2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)

Now, 3 [2 sin (52.5 °) sin (127.5‬°)] = 3 [sin (52.5° + 127.5°) – sin (52.5° – 127.5°)]

=2 [sin (180°) – sin (-75°)]

= 3 [sin 180°+ sin 75°]      {Since, sin (-θ) = – sin θ}

= 3 [1 + 0.9659]               {Since, sin 35° = 0.5735, sin 180° = 0}

= 5.8977       

Hence, 6 sin (52.5 °) sin (127.5‬°) = 5.8977.

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ СТАТЬИ